KPSS Lisans Genel Yetenek Matematik Konu Anlatımları, ders videoları, ders görselleri, konu resimleri | Sınıf Öğretmeniyiz Biz | Sınıf Öğretmenlerinin Kaynak Sitesi

Konu Anlatımları

KPSS Lisans Genel Yetenek Matematik Ders ve Konu Anlatımları

KPSS Lisans X >> Genel Yetenek X >> Matematik X

Sen de istediğin sınıf ders ve konu da içerik eklemek ister misin? Evet diyorsan yandaki butona tıklayarak konu anlatımı, video ya da ders görseli ekleyebilirsin.

Hatalı bilgiler için tıklayın:Yönetime Bildir

Sen de İçerik Ekle

Bekir Berkiten
24.12.2013 17:17:34 tarihinde eklendi.
Kaynak:Birikimlerim

Kesirler

a/2=b/3=c/5 ise a+2b nin c’ye bölümü kaçtır?
Burada orantıyı incelersek 3 tane bilinmeyen olduğunu görürüz.

1 sayısını kullanarak bir orantı örüntüsü elde edelim:
1=1/1=2/2=3/3=4/4=5/5=…
Bu örüntü sonsuza kadar devam etmektedir.

Buradan a=2,b=3 ve c=5 sonucuna ulaşabiliriz.Farklı sonuçlar bulsak bile sadeleştirdiğimizde yukarıdaki sonuçlara ulaşırız.

Değerler yerine konduğunda 2+(2.3)/5=?
İşlemin sonucu (2+6)/5=8/5 olacaktır.

Ondalık olarak 1,6...

Soru: a/b=2/5 ve a+b=28 ise b-a kaçtır?

İki tane bilinmeyen var.
a sayısı, 2 ile doğru orantılıdır.
b sayısı, 5 ile doğru orantılıdır.

Buradan (a+b) toplamının 7’nin katı olduğunu görebiliyoruz.
28/7=4

4 tane 2,8 eder. a=8
4 tane 5,20 eder. b=20

b-a=20-8=12
a/b=2/3 b/c=4/5 ise a/c kaçtır?

a/b=2/3 b/c=4/5
Burada iki tane ayrı orantı verilmiş.

İki orantıda da b’ler ortak.
İçler-dışlar çarpımı yaparsak;
a/b=2/3 orantısından 3a=2b elde ederiz.
b/c=4/5 orantısından 5b=4c elde ederiz.

Bu orantılarda payda eşitler gibi 2b’nin olduğu orantıyı 5 ile;5b’nin olduğu orantıyı ise 2 ile genişletirsek;
15a=10b ve 10b=8c sonuçlarını elde ederiz.
15a ve 8c ifedelerinin her ikisi de aynı ifadeye(10b)eşit olduğundan

15a=8c bulunur.
Buradan a/c ifadesi 8/15 olarak bulunur.

Konuyla ilgili soruların daha kolay çözülebilmesi için
-birim kesrin
-basit,bileşik ve tam sayılıkesirlerin(sorulan soruda gerekirse,bileşik kesri tam sayılı kesre,tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmenin)
-asal sayıların,
-bölünebilme kurallarının,
-kesirlerde genişletmenin,
-kesirlerde sadeleştirmenin,
-doğru ve ters orantının,
-orantı sabitinin iyi bilinmesi gerekir.
Ayrıca yukarıdaki yazdıklarımdan eksik bıraktığım varsa okuyan arkadaşlar düşünceleri ile katkıda bulunabilir,konunun daha kolay kavranmasını sağlayabiliriz.

Asal sayıların bir kısmıyla işlem yapalım:
2,3,5,7,11,13,17,19,...

Şimdi birim kesirler yazıp asal sayılarla bu kesirleri genişletelim.

Şimdi yazacağımız kesirlerin payı 1 olacak:
1/2, 1/3, 1 /4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10,...
Görüldüğü gibi payı 1 olan kesirler...
Bunları asal sayılarla genişletelim.

Payı ve paydayı aynı sayı ile çarpma işlemine kesrin genişletilmesi,
payı ve paydayı aynı sayıya bölme işlemine ise kesrin sadeleştirilmesi diyoruz.

Gireceğiniz sınavlardaki soruların cevap şıklarında kesrin en sade hâlinin yer alacağını belirterek bu konunun asla ihmal edilmeyip iyi bir şekilde öğrenilmesini öneriyorum.

1/2,kesrini 2 sayısıyla genişletelim.
Elimizde 1/2 elma var.Yani 2'ye bölünmüş ve 1 parçası alınmış.
Bunu 2 sayısı ile genişletmek demek yarım elmayı eşit olacak şekilde 2'ye bölmek demektir.
1/2=1x2/2x2
=2/4
Kesrin hem payını(1) hem de paydasını(2),2 sayısıyla çarptık.
Kesrin değerinin değişmediğini,4 parçadan 2'si tanımından anlayabiliriz.
Şimdi de 1/2 kesrini 3,5,7,11 sayılarıyla genişletelim:
1/2=1x3/2x3
3/6

1/2=1x5/2x5
=5/10

1/2=1x7/2x7
=7/14

Kesirleri incelediğimizde paydanın payın 2 katı olduğunu görürüz.
Diğer bir ifade ile 'pay paydanın yarısıdır.'
Kesirlerde genişletme yaptığımızda kesrin değeri değişmez.

Şimdi elinize kağıt,kalem alıp bunları tekrarlayın,daha sonra da işlemin tersini yapıp sadeleştirin.Göreceksiniz işiniz çok kolay olacak.
Allah,zihin açıklığı versin.
Kesirlerde genişletme ile ilgili örnekler vermeye çalıştım.Genişletilmiş olan kesirlerin değeri değişir mi?Değişip değişmediğini orantı yardımıyla bulabiliriz.

1/2=2/4 orantısına bakalım.İçler dışlar çarpmı yaparsak;
1x4=2x2
4=4

O halde yaptığımız genişletme doğrudur.Aynı zamanda genişletme yoluyla orantı da oluşturabiliyoruz:

1/2 =2/4=5/10=7/14
Bu kesirlerden herhangi ikisini ya da üçünü alarak orantı oluşturabiliriz.Bu kesirlerin en sade hali 1/2 kesridir.Sınavlarda diğer sonuçları bulduğumuzda sadeleştirmemiz gerekir.Çünkü en sade hali şıklara konmuştur.

Sanırım kesirlerde genişletme yeterince anlaşılmıştır.Konuyu pekiştirmek için bir elmayı 2'ye bölün;2 parçadan 1'i, 2'de 1'dir. Ya da 1 bölü 2'dir.(1 elma 2'ye bölündü değil mi?)Daha sonra yarım elmaları tekrar 2'ye bölerek ortaya çıkan kesirleri yazabiliriz.Bunu yaptığımızda kesri 2 sayısıyla genişletmiş olduk.Elmanın çeyreğini de 2 eş parçaya bölerek,1/8 kesrini elde etmiş oluruz.

Bunu yapmamızın nedeni elmayı yiyerek çıkarma yapmak;ayrıca görme,koklama,tat alma ve dokunma duyularından yararlanmaktır.Sesini de yerken duyabiliriz.Böylece beynimizdeki optik okuyucuya beş duyu vasıtasıyla bilgi göndermiş oluruz.

Bunları yapmak,başlangıçta bize sıkıcı gelebilir.Zaman kaybettirdiğini düşünebiliriz.Ancak unutmayalım ki bilgi günlük hayatta kullanmak içindir.Kalıcı bilgi ise birden fazla duyu organının kullanılmasıyla daha kolay gerçekleşir.

Sınavlarda bir kesrin en sade halinin şıklarda yer alması sadeleştirme konusunun önemini artırmaktadır.
Şimdi de kesirlerde sadeleştirme yapalım.

Yine kolaylık olması açısından genişletmiş olduğumuz kesirleri sadeleştireceğiz.Böylece hem yaptığımız işlemin doğruluğunu kontrol etmiş olacağız hem de kendi kendimize soru üretip cevaplandırmış olacağız.

2/4 kesrini 1/2 kesrini 2 sayısıyla genişleterek elde etmiştik.Şimdi yaptığımız işlemin tersini yapalım:Çarpmanın tersi bölmedir.Geldiğimiz yerin tersine gideceğimiz için başlangıç noktasına olan mesafe aynı kalacaktır.Yani işlem bölme ve 2'ye böleceğiz.Kesrin hem payını hem de paydasını aynı sayıya böleceğiz.Bu işleme sadeleştirme diyoruz.Bunun nedeni ise hem payın hem de paydanın 2'ye bölünebilmesidir.

2/4=2:2/4:2 2'nin 2'ye bölümü(2:2) 1 eder.Bunu paya yazarız.
4:2=2 olduğundan bunu da paydaya yazarız.Sonuç:1/2
Başlangıç noktasına dönmüş olduk.

3/6 kesrini sadeleştirelim.
1/2 kesrinin hem payını hem de paydasını 3 ile çarparak genişletmiştik.Çarpmanın tersi bölmedir,böleceğiz.
Kaça böleceğiz?Başlangıç noktasına giden yol,geldiğimiz yoldur:3'e böleceğiz payı ve paydayı.
3/6=3:3/6:3 3:3=1 ve 6:3=2 olduğundan
sonuç 1/2'dir.

5/10 kesri sadeleştirilebilir mi?
Hem pay,hem de payda 5'in katıdır,5'e bölünerek sadeleştirilebilir.
5/10=5:5/10:5 5:5=1 ve 10:=2 olduğundan
sonuç, 1/2'dir.

7/14 kesrinde hem pay hem de payda 7'nin katıdır.7 ile sadeleştirelim.
7/14=7:7/14:7=1/2

Oran ve orantı,kesirler konularının iyi anlaşılması için sayı doğrusunu kullanmalıyız.
Gerekirse kesrin değeri hakkında tahmin yapalım ve değerini payı paydaya bölerek bulalım.Eğer işlem uzunsa hesap makinesi kullanabilirsiniz.Kısa işlemleri de hesap makinesi ile de kontrol edebilirsiniz.
Kesirlerin değerini bulduktan sonra sayı doğrusu üzerinde gösterebiliriz.Eğer payda 2 ise iki tam sayı arasını 2 eş parçaya,3 ise 3 eş parçaya,4 ise 4 eş parçaya,... böleriz ve işimizi kolaylaştırırız.Paydaları eşitleyeceksek önce payda eşitleme işlemini yapalım.

1/2, 2/2 , 3/2, 4/2, 5/2,... kesirlerini sayı doğrusu üzerinde gösterip değerlerini öğrenelim.

1/2 kesrinde 2 eş parçadan biri alınmış.1'i 2'ye böldümüzde tam sayıya ulaşamayacağımız için 1/2 kesri 1 tam sayısından küçüktür.

Sıfır ile 1 arasını 2 eş parçaya ayıralım ve çizginin olduğu yere 1/2 yazalım.
2/2'nin yeri 2 paraçaya bölünmüş ve 2'si de alınmış, tama(bütüne) eşittir.
2/2: 2'yi böl 2'ye,2'nin içinde 2,1 tane vardır.1 bütün
2/2 kesri 1 tam sayısına karşılık gelmektedir.

3/2: 3'ü böl 2'ye 1 tane tam var,1 tane de yarım var. tam sayısı ile 2 tam sayısının arasındaki uzaklığı 2 eş parçaya bölüyoruz ;3/2 orta noktadadır.

Bütünler 2 eş parçaya bölünmüş.3 tane paraça alınmış.Yani 3 tane 1/2
sayı doğrusunda sayalım:1/2,2/2,3/2

Elinize kağıt kalem alıp işlemleri yaparsanız daha iyi anlarsınız.Allah zihin açıklığı versin,cümlemize,amin.

4/2, 5/2, 6/2, 8/2, 11/2 kesirlerini de siz sayı doğrusu üzerinde gösterebilirsiniz.Başarılar dilerim.

1/3 kesrini sayı doğrusu üzerinde gösterelim. 3 eş parçadan 1'i
Sıfır ile 1 arasını 3 eş parçaya bölelim.İlk çizgi 1/3 ,ikinci çizgi 2/3'tür.
3/3 kesri 1 tam sayısına eşittir.

4/3 kesri,1 tam 1/3'e eşittir.1'den büyük,2'den küçüktür.
5/3 kesri,1 tam 2/3'e eşittir.1'den büyük,2'den küçüktür.

6/3 ise, 2 tam sayısına eşittir.6'yı böl 3'e eşittir 2.Bütünler 3 eş parçaya ayrılmış.6 parça alınmış.

1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5,4/5,1/6,5/6, 1/7,

2/7 ,3/7, 4/7 ,5/7, 6/7, 1/8 ,3/8 ,5/8 ,7/8 ,1/9 ,2/9,4/9

5/9, 7/9, 8/9, 1/10, 3/10, 7/10, 9/10

kesirlerini sırasıyla 2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,16,18,21,24 sayılarıyla genişletelim.
Sonra aynı sayılarla sadeleştirelim.Zaman alacak gibi görünse de her gün azar azar yaparak bir aya da yayabiliriz.

Aynı cinsten iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir.
Örnek:
Ela' ağırlığı/Lale'nin ağırlığı=36 kg/48 kg
36kg:12/48 kg:12=3/4

Oya'nın matematik notu/Kaya'nın matematik notu=2/4
2:2/4:2=1/2

İki oranın eşitliğine ise orantı denir.

a/b=c/d orantısında a,1. terim;b,2. terim;c,3. terim,d ise 4. terim olarak kabul edilirse a ve d' yi dışlar,b ve c' yi ise içler olarak alırız.
1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5,4/5,1/6,5/6, 1/7,

2/7 ,3/7, 4/7 ,5/7, 6/7, 1/8 ,3/8 ,5/8 ,7/8 ,1/9 ,2/9,4/9

5/9, 7/9, 8/9, 1/10, 3/10, 7/10, 9/10
Daha önce yazdığım bu kesirler paydası 2,3,4,5,6,7,8,9,10 olanların en sade halidir,inşaallah unuttuğum yoktur.



İçler,dışlar çarpımı birbirine eşitttir.

İç terimlerin çarpımı ile dış terimlerin çarpımının birbirine eşit olduğunu belirtmiştik.Diğer özelliklerini de örneklerle anlatmaya çalışalım:

1)Bir orantıda iç terimlerin yerlerini değiştirdiğimizde eşitlik bozulmaz.Çünkü zaten iç terimler birbirleri ile çarpılacağı için yerleri değişmiş olur.Çarpmada çarpanların yerleri değiştiğinde çarpım sonucu değişmez.
1/2=3/6 orantısında iç terimler 2 ve 3'tür.
Yerlerini değiştirdiğimizde 1/3=2/6 orantısını elde ederiz.
1/3=2:2/6:2
1/3=1/3

Eşitliğin bozulmadığını sanıyorum görüyorsunuz.Çünkü sadece yerleri değişti.

2)Eşitliğin bozulmaması dış terimlerin yer değiştirmesinde de geçerlidir.

1/2=3/6 orantısında dış terimler 1 ve 6'dır.Yerlerinin değimesinin eşitliği bozmayacağını çarpmanın değişme özelliğinden de anlayabiliriz.
1x6=2X3 6=6 eşitlik var.

Yerlerini değiştirelim.
6/2=3/1 3=3 Eşitlik bozulmadı.

3)Bir orantıda her iki oranın pay ve paydasını yerleri değiştirilirse eşitlik bozulmaz.

1/2=3/6 Burada paylar 1 ve 3,paydalar ise 2 ve 6'dır.
Yerlerini değiştirelim:
2/1=6/3
2/1=6:3/3:3
2=2/1
2=2
Oran ve orantıyı daha iyi anlamak için kendimiz orantı oluşturup soru hazırlayalım:
1/3 kesrini aldım ve 2 sayısı ile genişlettim;2/6 oldu.
Şimdi 1/3=2/6 yazdım ve orantı oluştu.Yeni orantılar oluşturmak için kesirlerde genişletme ve sadeleştirmeler yapalım,bir süre sonra kendiniz zihinden orantılar hatta örüntüler oluşturacaksınız.

1/3 kesrini değişik sayılarla genişletin ve yeni oran ve orantılar oluşturun.Soruları sizin hazırlamanız konuyu sevmenize,yabancılık çekmemenize yardımcı olacaktır.

Konunun daha iyi anlaşılabilmesi için lütfen bölme ve bölünebilme konusunu tekrar edip eksiğimiz varsa giderelim.

Kesir takımında 1/2 kesrini belirten çizgiye baktığımızda ona denk olan 2/4,3/6,4/8 kesirleri görebiliriz.
Yine 1/3 kesrine denk olan kesirleri görebilir,denk kesirlerle genişletme ve sadeleştirme işlemlerini görsel olarak da yapabiliriz.

Ayrıca öğrencilerimiz yalnız başlarına çalışırlarken kesirleri görsellerle çalışacak,yaptıkları işlemleri kontrol edebileceklerdir.

Kesir takımında 1/2 kesrini belirten çizgiye baktığımızda ona denk olan 2/4,3/6,4/8 kesirleri görebiliriz.
Yine 1/3 kesrine denk olan kesirleri görebilir,denk kesirlerle genişletme ve sadeleştirme işlemlerini görsel olarak da yapabiliriz.

Gelelim kavranmasında zorlanılan bölme işlemine:
Yarımın içinde kaç tane çeyrek vardır?
2 tane

İşlemi yapmadan yazalım1/2:1/4=2

Acaba işlemle nasıl anlatabiliriz?
1/2'ye kadar yazdım ve uzun bölü çizgisine geldim.

Buradaki mantık:Bölü yerine çarpı yazıyorum.Yani bölmenin tersini yapıyorum ve bunu yaptığım için de alttaki kesri de ters çeviriyorum.

1/2x4/1=1x4/2x1=4/2=2
Yarımın içinde 2 tane çeyrek olduğu için işlemimiz doğrudur.
Bu değerler ayrıca kesir takımı üzerinde de gösterilebilir.

Bölme yapılırken uzun kesir çizgisine dikkat edilir:
Üstteki kesir aynen yazılır,alttaki kesir ters çevrilip çarpılır.

İşlemler öğrenci için yabancı gelmesin,öncelikle.Problem çözümlerine de geçebiliriz.
Kolaydan zora,bilinenden bilinmeyene doğru...
Sakın bu ilkeleri ihmal etmeyelim.İhmal edip iyi iletişim kuramazsak öğrenci matematikten soğur ve korkmaya başlar.

Bekir Berkiten
24.12.2013 17:11:37 tarihinde eklendi.
Kaynak:Kendi Birikimlerim

Üslü Sayılar, EKOK, EBOB

Dört işlemin özelliklerine,tam sayılara,bayağı kesirlere,ondalık kesirlere başlamadan önce sizi için bir başlangıç olması açısından ön çalışma yapalım.

   Bölünebilme konusu karşınıza çıkacaktır.Ayrıca bazı konuların sayıların katları ile ilgili olması nedeniyle gelin önce biraz çarpma yapıp işlem hızımızı yükseltip hafızamıza bazı çarpım sonuçlarını yerleştirelim.

  2x2=4 (2x2)x2=4x2=8 ya da 2x(2x2)=2x4=8 veyahut da 2x2x2=8
  2x(2x2x2)=2X8=16 ya da (2x2x2)x2=8X2=16 veyahut da
  (2x2)x(2x2)=4x4=16

  (Burada üslü sayılara da giriş yapalım:2 üssü sıfır(0) 1' e eşittir.
  2 üzeri 1,2'ye eşittir.
  2 üzeri 2=2x2=4
  2 üzeri 3=2x2x2=8
  2 üzeri 4=2x2x2x2=16 )

  2x2x2x2x2=?
  İstediğiniz şekilde paranteze alıp yapabilirsiniz,hangisi kolayınıza geldiyse.
  (2x2)x(2x2)x2=(4x4)x2=16x2=32
  2x(2x2)x(2x2)=2x(4x4)=2x16=32
  Sorununu kolay çözülmesinde değişik yerlerden paranteze ayrılma çıkabilir.ben kafanızı karıştırmamak için bu kadar yazdım.

  (2 üzeri 5=2x2x2x2x2=32)

Bunları öğrendikten sonra
  '2 üzeri 6' daha kolay öğrenilecektir.Buradaki çarpma işlemleri öncekilerle bağlantılıdır.Lütfen bilgileri sindire sindire gidelim.

2 üzeri 6=2x(2x2x2x2x2) parentez içini daha önce bulmuştuk(32),yerine yazalım.
   2x32=64
   Şimdi de 2 üzeri 2'yi yani 4'ü değişik sayılarla çarpıp öğrenelim.Bunlar payda eşitlemede,üslü ve köklü sayılarda kullanılabilecektir.

  4x5=20
  4x6=24
  4x7=28
  4x8=32
  4x9=36
  4x10=40
  4x11=44
  4x12=48
  4x13=52
  4x15=60
  4x16=64
  4x18=72
  4x21=84
  4x23=92
  4x25=100
  4x27=108

Arkadaşlar geriye dönmemek için bunları baştan öğrenelim ki işlem hızımız artsın,matematik sıkıcı ve zor gelmesin.

3x3=9
  3x(3x3)=3x9=27 veya (3x3)x3=9x3=27
  (3x3)x(3x3)=9x9=81
  3x(3x3)x(3x3)=3x81=243
  (3x3)x(3x3)x(3x3)=9x(9x9)=9x81=729

  Buradan yararlanarak 3 taban olmak üzere üslü ifade ve eşitlerini yazınız.
  Ayrıca 9 üzeri 2(9'un karesi) ve 9 üzeri 3'ü de hesaplayabilirsiniz.

Bekir Berkiten
24.12.2013 17:08:25 tarihinde eklendi.
Kaynak:Soru Alıntı, Çözüm Tarafıma Ait

Harfli İfadeler

x.y=4.z
x.z=3.y
y.z=2.x ise
x²+y²+z²=?

Eşitliklerin sol tarafları sağ taraflara eşittir.
Sol tarafları kendi aralarında, sağ tarafları kendi aralarında çarpalım:

(x.y). (x.z).(y.z)=(4.z).(3.y)(2.x)

x.y.z.x.y.z=24 x.y.z

Her iki tarafı da (x.y.z) ifadesine bölelim:
(x.y.z.x.y.z)/ (x.y.z)= 24. (x.y.z) / (x.y.z)
x.y.z=24

x.y=4.z ifadesinin her iki tarafını da ''z'' ile çarpalım:

x.y.(z)=4. z.(z)
x.y.z=4 z²
x.y.z= 24 idi.

4 z²=24
z²=6

x.z=3.y ifadesinde her iki tarafı da y ile çarpalım:

x.z.(y)=3.y.(y)
x.y.z=24 eşitliğinden
3.y²=24

y.z=2.x ifadesinde her iki tarafı da ''x'' ile çarpalım:
y.z.(x)=2.x.(x)
x.y.z=24 eşitliğinden;
2x²=24

x²=12

z²=6 y²=8 x²=12

x²+y²+z²= 6+8+12

=26

Yukarıdaki soruda görmemiz gerekenler kullandıklarımız:
  Bir eşitsizliğin bir tarafı diğer tarafına eşit olduğu için,
Diğeri yerine kullanılabilir.

  Ayrıca eşitsizliklerin bir tarafları kendi aralarında çarpıldığında diğer tarafların çarpımını elde ederiz:

  x.y=4.z
  x.z=3.y
  y.z=2.x

x.y
x.z
y.z

''='' eşittir işaretini ve karşısını sildim. Kendi aralarında çarparsam
  Sağ tarafların çarpımına eşit olur.

(x.y). (x.z). (y.z)

  çarpımı,

  4.z
  3.y
  2.x

eşitsizliklerin sağ tarafındaki işaretlerin çarpımına eşittir:

  (4.z). (3.y). (2.x)

  (x.y). (x.z). (y.z) =   (4.z). (3.y). (2.x)

Diğer görmemiz gereken ise
''x.y.z'' eşitsizliğine ulaşmaktır.

x.y=4.z  ifadesinde sol tarafa( yani her iki tarafa) ''z'' sayısını yazıp çarparsak
  ''x.y.z'' çarpımına ulaşmış oluruz.