9.Sınıf Matematik Dersi

Cevap:9.Sınıf Matematik Dersi (9.12.2013 07:15:40)

A={a,b,c,d,e,f} ise
A kümesinin alt kümelerinin kaçında a,b,c elemanlarından en çok ikisi bulunur?

''En çok ikisi''
denildiğine göre a,b,c'nin üçünün de bulunduğu kümeler alınmayacak.

Uzun yoldan yapalım, mantık yürütelim ve kısa yolu bulmayı öğrenelim.

İçinde (a,b,c) elemanlarının üçünün de bulunduğu alt kümeleri bulalım.

   {a,b,c}


{a,b,c}'ye diğer elemanları katarak alt kümeler oluşturalım.


{a,b,c,d}    {a,b,c,e}   {a,b,c,f}

de,   df   ve ef'yi ekleyerek kümeler oluşturalım.

{a,b,c,d,e} {a,b,c,d,f}   {a,b,c,e,f}

Bütün elemanları alalım: {a,b,c,d,e,f}



1    3     3    1

1+3+3+1=8

Üçünün de bulunduğu (en çok ikisi olmayanlar; üçü de olduğu için)
alt küme sayısını kısa yoldan bulabilir misiniz?

6 elemanlı kümenin toplam alt küme sayısını nasıl buluyorduk?

2x2x2x2x2x2=64

İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.

Cevap:9.Sınıf Matematik Dersi (9.12.2013 07:16:12)

KÜMELER, ALT KÜMELER, PASCAL ÜÇGENİ

Sıfır elemanlı alt küme düşünelim:
Boş bir kalemlikteki kalem sayısı:0(sıfır)
Burada bu kümenin alt kümeleri kendisi ve boş küme olarak tanımlanır.
      1   

Şimdi kalemliğe 1 kurşun kalem kalem koyalım ve alt kümeleri bulalım:
Daha önce boştu ve boş olan sıfır elemanlı alt küme sayısı:1
1 tane elemanı olduğu için 1 elemanlı alt küme sayısı:1

                         1
                     1       1

Kalemliğe kırmızı kalemi de koyalım ve alt kümelerini bulalım:
Sıfır elemanlı alt küme sayısı:1

İçinde sadece kurşun kalem olan 1 elemanlı alt küme,
İçinde sadece kırmızı kalem olan 1 elemanlı alt küme,
Olarak düşündüğümüzde 2 tane 1 elemanlı alt küme olduğunu görürüz.
1 elemanlı alt küme sayısı:2

Kurşun kalemi ve kırmızı kalemi koyarsak,
2 elemanlı kümeyi elde etmiş oluruz, yani kendisini.
2 elemanlı alt küme sayısı:1

                    1
               1        1
            1       2      1
      
      
( 2 elemanlı kümenin alt kümeleri;
A={1,2} olsun
sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
1 elemanlı alt küme sayısı:2,    {1},{2}
2 elemanlı alt küme sayısı:1,    {1,2} (kendisi) )



3 elemanlı kümenin alt kümeleri
B={a,b,c} olsun.

sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
1 elemanlı alt küme sayısı:3   {a}, {b},{c}
2 elemanlı alt küme sayısı:3    {a,b},{a,c},{b,c}
3 elemanlı alt küme sayısı :1   {a,b,c} (kendisi)
    
                                                 

                                        1
                                    1      1
                                  1     2     1
                                1    3     3    1


   4 elemanlı kümenin alt kümeleri
A={1,2,3,4} olsun.
sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
1 elemanlı alt küme sayısı:4 {1},{2},{3},{4}
2 elemanlı alt küme sayıs:6 {1,2} {1,3}, {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}
3 elemanlı alt küme sayısı:4 {1,2,3}, {1,2,4},{ 1,3,4},{2,3,4}
4 elemanlı alt küme sayısı:1 {1,2,3,4} (kendisi),(kendisi hariç diğer alt kümelere özalt kümeler de denir.)

                                       1
                                  1       1
                                 1     2     1
                               1    3     3    1
                             1 4    6     4    1

2 elemanlıları bulurken ikişer ikişer kapatıyoruz.
3 elemanlıları bulurken birer birer kapatıyoruz.



5 elemanlı bir kümenin alt kümelerini siz bulmayı deneyin.Önce 4 elemanlı kümenin alt kümelerini yazalım.Sonra yeni elemanla ne kadar alt küme oluştuğuna bakalım.
A={1,2,3,4,5} olsun.


A={1,2,3,4,5} olarak almıştık.
4 elemanlı kümenin alt kümelerine ekleme yapalım ve nasıl oluştuğunu da görelim:
Boş küme yani sıfır elemanlı alt küme sayısı yine 1,
1 elemanlılara ek olarak {5}
2 elemanlılara ek olarak {1,5} {2,5} {3,5} {4,5}
3 elemanlılara ek olarak {1,2,5} {1,3,5} {1,4,5}   {2,3,5} {2,4,5} {3,4,5}
4 elemanlılara ek olarak {1,2,3,5} {1,2,4,5} {1,3,4,5} {2,3,4,5 }
5 elemanlı 1 tane:{1,2,3,4,5}
   
Bu kümeleri 4 elemanlı kümenin alt kümelerine ekleyip düzenleyelim.Böylece 5 elemanlı kümenin alt kümeleri ortaya çıkmış olsun.


   A={1,2,3,4,5} ise A kümesinin alt kümeleri
Sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {}    (boş küme)

1 elemanlı alt küme sayısı:5 {1} {2} {3} {4} {5}

2 elemanlı alt küme sayısı:10   {1,2} {1,3} {1,4}{1,5}{2,3} {2,4}{2,5}{3,4} {3 ,5} {4,5}

   3 elemanlı alt küme sayısı:10 {1,2,3} {1,2,4} {1,2,5} {1,3,4} {1,3,5}{1,4,5} {2,3,4} {2,3,5} {2,4,5} {3,4,5}

   4 elemanlı alt küme sayısı: 5 {1,2,3,4} {1,2,3,5}{1,2,4,5} {1,3,4,5}
{2,3,4,5} (her seferinde 1 elemanın kapatıldığına dikkat edelim)

5 elemanlı alt küme sayısı:1 tane {1,2,3,4,5}

                                      1   
                                  1       1
                                 1     2     1
                               1    3     3    1
                             1 4    6     4    1
                           1 5   10    10   5    1
      1   
                                  1       1
                                 1     2     1
                               1    3     3    1
                            
                           1 5   10    10   5    1

   Buradaki satırları sırasıyla açıklayalım:
                                           1
   Sıfır elemanlı kümenin alt küme sayısı boş küme yani kendisidir.
                                       1        1
   1 elemanlı kümenin alt küme sayısı 2'dir.Boş küme ve kendisi
   
                                      1     2     1
    Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
    1 elemanlı alt küme sayısı     :2
    2 elemanlı alt küme sayısı     :1 (kendisi)

                                 1    3     3    1
Sıfır elemanlı alt küme sayısı   :1
    1 elemanlı alt küme sayısı     :3
    2 elemanlı alt küme sayısı     :3
    3 elemanlı alt küme sayısı      :1 (kendisi)

                                  1 4    6     4    1
    Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
    1 elemanlı alt küme sayısı     :4
    2 elemanlı alt küme sayısı     :6
    3 elemanlı alt küme sayısı     :4
    4 elemanlı alt küme sayısı     :1   (kendisi)

                               1 5   10    10   5    1
     Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
    1 elemanlı alt küme sayısı     :5
    2 elemanlı alt küme sayısı     :10
    3 elemanlı alt küme sayısı     :10
    4 elemanlı alt küme sayısı     :5
    5 elemanlı alt küme sayısı    :1 (kendisi)



   B={1,2,3,4,5,6} alt kümelerini bulalım.


B={1,2,3,4,5,6} alt kümelerini bulurken
A={1,2,3,4,5} kümesine {6} elemanının bulunduğu alt kümeleri de ekleyelim.Bu konu pek çok konu için temel bilgi demektir.


    
6 elemanlı kümenin alt kümeleri:
Sıfır elemanlı alt küme:{}

1 elemanlı alt kümeleri:{1},{2},{3},{4},{5},{6}

2 elemanlı alt kümeleri:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5}{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}

3 elemanlı alt kümeleri :{1,2,3} {1,2,4} {1,2,5} {1,2,6} {1,3,4} {1,3,5} {1,3,6} {1,4,5} {1,4,6}{1,5,6} {2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,4,5},{2,4,6},{2,5,6}{3,4,5},{3,4,6}{3,5,6}{4,5,6}

4 elemanlı kümeleri bulurken her seferinde farklı 2 eleman kapatırız.
5 elemanlı kümeleri bulurken her seferinde 1 elemanı kapatırız:
{1,2,3,4,5}    {1,2,3,4,6}   {1,2,3,5,6}   {1,2,4,5,6}   {1,3,4,5,6}      {2,3,4,5,6}     
6 elemanlı kümenin 6 elemanlı alt kümesi kendisidir.Diğer kümeler ise öz alt kümedir.

                                      1   
                                  1       1
                                 1     2     1
                               1    3     3    1
                             1 4    6     4    1
                           1 5   10    10   5    1
                         1 6 15   20   15   6   1



İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.

Cevap:9.Sınıf Matematik Dersi (29.12.2013 16:21:17)

üslü ve köklü sayılarda kullanılmak üzere bir sayının karesini şekille bulmayı anlatayım sizlere.
Kareli kağıtta 2'ye 2 kare çizdirelim. Bunların içinde 4 tane kare olduğu görülecektir. Daha sonra bunun dışına birleşik olacak şekilde 3'e 3 kare çizdirelim. 2tane 2'ye 1 tane 3, 1 tane de 2 eklediğimizde 3 tane 3'ü bulduğumuzu öğrenci gözle görecektir.
3 tane 3=2tane 2+ 1 tane 3+ 1 tane 2
3x3=4+3+2=9

Kareyi 4'e 4 olacak şekilde genişletelim.İçindeki kareye bakarak öğrenci 3 tane 3'e 1 tane 4 ve 1 tane 3 ekleyerek 4'ün karesini bulmayı öğrenecektir.
4 tane 4= 3 tane 3+ 1 tane 4+ 1tane 3
4x4=9+4+3=16

10' a 10 bir kare çizdirelim. Bunun içinde 100 küçük kare vardır. Bundan yararlanarak 9 tane 9'u nasıl bulacağımızı şekille gösterelim:
Çizdiğimiz 10 'a 10 karenin içine dışarıda 1 tane 10 kare, 1 tane 9 kare olacak şekilde 9'a 9 kere çizelim.
10 tane 10'dan 1 tane 10 ve 1 tane 9 çıkarıldığında 9 tane 9'un kaldığı görülecektir.
   9 tane 9= 10 tane 10 - 1 tane 10- 1 tane 9
   9x9=100-10-9=81


11'in karesi yani 11 tane 11 kaçtır?
11x11=10 tane 10+ 1 tane 11+ 1 tane 10
11x11=100+11+10=121


12'nin karesi yani 12 tane 12 kaçtır?
12 tane 12=11 tane 11+ 1tane 12+ 1 tane 11
12x12=121+12+11=144


Öğrenci bu yolla deneyerek, çarparak da yapacağı için bunları kısa sürede ezberleyecektir. 13, 14,15,16,17,18'in karesini öğrenci bu yolla bulsun.

19 tane 19, yani 19'un karesi kaçtır.?
20'nin karesinden 1 tane 20, 1 tane de 19 çıkaracağız.
19 tane 19=20 tane 20-1 tane 20- 1 tane 19
19x19=400-20-19=380-19=361


İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.