Kpss Matematik
Cevap:Kpss Matematik (21.12.2013 12:49:05)
x.y=4.z
x.z=3.y
y.z=2.x ise
x²+y²+z²=?
Eşitliklerin sol tarafları sağ taraflara eşittir.
Sol tarafları kendi aralarında, sağ tarafları kendi aralarında çarpalım:
(x.y). (x.z).(y.z)=(4.z).(3.y)(2.x)
x.y.z.x.y.z=24 x.y.z
Her iki tarafı da (x.y.z) ifadesine bölelim:
(x.y.z.x.y.z)/ (x.y.z)= 24. (x.y.z) / (x.y.z)
x.y.z=24
x.y=4.z ifadesinin her iki tarafını da ''z'' ile çarpalım:
x.y.(z)=4. z.(z)
x.y.z=4 z²
x.y.z= 24 idi.
4 z²=24
z²=6
x.z=3.y ifadesinde her iki tarafı da y ile çarpalım:
x.z.(y)=3.y.(y)
x.y.z=24 eşitliğinden
3.y²=24
y.z=2.x ifadesinde her iki tarafı da ''x'' ile çarpalım:
y.z.(x)=2.x.(x)
x.y.z=24 eşitliğinden;
2x²=24
x²=12
z²=6 y²=8 x²=12
x²+y²+z²= 6+8+12
=26
Yukarıdaki soruda görmemiz gerekenler kullandıklarımız:
Bir eşitsizliğin bir tarafı diğer tarafına eşit olduğu için,
Diğeri yerine kullanılabilir.
Ayrıca eşitsizliklerin bir tarafları kendi aralarında çarpıldığında diğer tarafların çarpımını elde ederiz:
x.y=4.z
x.z=3.y
y.z=2.x
x.y
x.z
y.z
''='' eşittir işaretini ve karşısını sildim. Kendi aralarında çarparsam
Sağ tarafların çarpımına eşit olur.
(x.y). (x.z). (y.z)
çarpımı,
4.z
3.y
2.x
eşitsizliklerin sağ tarafındaki işaretlerin çarpımına eşittir:
(4.z). (3.y). (2.x)
(x.y). (x.z). (y.z) = (4.z). (3.y). (2.x)
Diğer görmemiz gereken ise
''x.y.z'' eşitsizliğine ulaşmaktır.
x.y=4.z ifadesinde sol tarafa( yani her iki tarafa) ''z'' sayısını yazıp çarparsak
''x.y.z'' çarpımına ulaşmış oluruz.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
x.y=4.z
x.z=3.y
y.z=2.x ise
x²+y²+z²=?
Eşitliklerin sol tarafları sağ taraflara eşittir.
Sol tarafları kendi aralarında, sağ tarafları kendi aralarında çarpalım:
(x.y). (x.z).(y.z)=(4.z).(3.y)(2.x)
x.y.z.x.y.z=24 x.y.z
Her iki tarafı da (x.y.z) ifadesine bölelim:
(x.y.z.x.y.z)/ (x.y.z)= 24. (x.y.z) / (x.y.z)
x.y.z=24
x.y=4.z ifadesinin her iki tarafını da ''z'' ile çarpalım:
x.y.(z)=4. z.(z)
x.y.z=4 z²
x.y.z= 24 idi.
4 z²=24
z²=6
x.z=3.y ifadesinde her iki tarafı da y ile çarpalım:
x.z.(y)=3.y.(y)
x.y.z=24 eşitliğinden
3.y²=24
y.z=2.x ifadesinde her iki tarafı da ''x'' ile çarpalım:
y.z.(x)=2.x.(x)
x.y.z=24 eşitliğinden;
2x²=24
x²=12
z²=6 y²=8 x²=12
x²+y²+z²= 6+8+12
=26
Yukarıdaki soruda görmemiz gerekenler kullandıklarımız:
Bir eşitsizliğin bir tarafı diğer tarafına eşit olduğu için,
Diğeri yerine kullanılabilir.
Ayrıca eşitsizliklerin bir tarafları kendi aralarında çarpıldığında diğer tarafların çarpımını elde ederiz:
x.y=4.z
x.z=3.y
y.z=2.x
x.y
x.z
y.z
''='' eşittir işaretini ve karşısını sildim. Kendi aralarında çarparsam
Sağ tarafların çarpımına eşit olur.
(x.y). (x.z). (y.z)
çarpımı,
4.z
3.y
2.x
eşitsizliklerin sağ tarafındaki işaretlerin çarpımına eşittir:
(4.z). (3.y). (2.x)
(x.y). (x.z). (y.z) = (4.z). (3.y). (2.x)
Diğer görmemiz gereken ise
''x.y.z'' eşitsizliğine ulaşmaktır.
x.y=4.z ifadesinde sol tarafa( yani her iki tarafa) ''z'' sayısını yazıp çarparsak
''x.y.z'' çarpımına ulaşmış oluruz.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
Bu mesaja teşekkür edenler
Cevap:Kpss Matematik (21.12.2013 23:14:02)
Bekir öğretmenim teşekkür ederim anlatımınız için. Siz böyle konu anlatımı paylaşınca aklıma bir fikir geldi. Sitemizde konu anlatımları diye bir bölüm var. Henüz tanıtımını pek yapmadık hatta çoğumuz bilmiyordur. Bu bölüm çok yararlı olacak ama tanıtmak için biraz içerik eklemek lazım. Bir inceleyin isterseniz. Burada paylaştığınız aynı içerikleri konu anlatımları bölümümüze ekleyerek bu bölümümüzü işlevsel hale getirebiliriz.
Konu anlatımı bölümümüze yazılı içerik, görsel içerik ve video eklenebiliyor.
Mesela 7.sınıf matematik kümeler konusunu seçiyoruz. Bu sayfaya yazılı, görsel ve video içerik ekliyoruz. Aynı sayfada bu konuyla ilgili dosyalar ve online sınavlara da ulaşılabiliyor.
Konu anlatımları bölümümüze ulaşmak için buraya tıklayabilirsiniz: http://www.sinifogretmeniyiz.biz/konu_anlatimlari.asp
İmza:Sınıf Öğretmeniyiz Biz
Bekir öğretmenim teşekkür ederim anlatımınız için. Siz böyle konu anlatımı paylaşınca aklıma bir fikir geldi. Sitemizde konu anlatımları diye bir bölüm var. Henüz tanıtımını pek yapmadık hatta çoğumuz bilmiyordur. Bu bölüm çok yararlı olacak ama tanıtmak için biraz içerik eklemek lazım. Bir inceleyin isterseniz. Burada paylaştığınız aynı içerikleri konu anlatımları bölümümüze ekleyerek bu bölümümüzü işlevsel hale getirebiliriz.
Konu anlatımı bölümümüze yazılı içerik, görsel içerik ve video eklenebiliyor.
Mesela 7.sınıf matematik kümeler konusunu seçiyoruz. Bu sayfaya yazılı, görsel ve video içerik ekliyoruz. Aynı sayfada bu konuyla ilgili dosyalar ve online sınavlara da ulaşılabiliyor.
Konu anlatımları bölümümüze ulaşmak için buraya tıklayabilirsiniz: http://www.sinifogretmeniyiz.biz/konu_anlatimlari.asp
İmza:Sınıf Öğretmeniyiz Biz
Bu mesaja teşekkür edenler:(1): Bekir Berkiten,
Cevap:Kpss Matematik (22.12.2013 20:04:44)
Ekledim (Konu Anlatımlarına) ancak tekrar baktığımda göremedim, işleyişi iyice öğrenip tekrar denerim.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
Ekledim (Konu Anlatımlarına) ancak tekrar baktığımda göremedim, işleyişi iyice öğrenip tekrar denerim.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
Bu mesaja teşekkür edenler:
Cevap:Kpss Matematik (22.12.2013 20:07:50)
Dört işlemin özelliklerine,tam sayılara,bayağı kesirlere,ondalık kesirlere başlamadan önce sizi için bir başlangıç olması açısından ön çalışma yapalım.
Bölünebilme konusu karşınıza çıkacaktır.Ayrıca bazı konuların sayıların katları ile ilgili olması nedeniyle gelin önce biraz çarpma yapıp işlem hızımızı yükseltip hafızamıza bazı çarpım sonuçlarını yerleştirelim.
2x2=4 (2x2)x2=4x2=8 ya da 2x(2x2)=2x4=8 veyahut da 2x2x2=8
2x(2x2x2)=2X8=16 ya da (2x2x2)x2=8X2=16 veyahut da
(2x2)x(2x2)=4x4=16
(Burada üslü sayılara da giriş yapalım:2 üssü sıfır(0) 1' e eşittir.
2 üzeri 1,2'ye eşittir.
2 üzeri 2=2x2=4
2 üzeri 3=2x2x2=8
2 üzeri 4=2x2x2x2=16
2x2x2x2x2=?
İstediğiniz şekilde paranteze alıp yapabilirsiniz,hangisi kolayınıza geldiyse.
(2x2)x(2x2)x2=(4x4)x2=16x2=32
2x(2x2)x(2x2)=2x(4x4)=2x16=32
Sorununu kolay çözülmesinde değişik yerlerden paranteze ayrılma çıkabilir.ben kafanızı karıştırmamak için bu kadar yazdım.
Bunları öğrendikten sonra
'2 üzeri 6' daha kolay öğrenilecektir.Buradaki çarpma işlemleri öncekilerle bağlantılıdır.Lütfen bilgileri sindire sindire gidelim.
2 üzeri 6=2x(2x2x2x2x2) parentez içini daha önce bulmuştuk(32),yerine yazalım.
2x32=64
Şimdi de 2 üzeri 2'yi yani 4'ü değişik sayılarla çarpıp öğrenelim.Bunlar payda eşitlemede,üslü ve köklü sayılarda kullanılabilecektir.
4x5=20
4x6=24
4x7=28
4x8=32
4x9=36
4x10=40
4x11=44
4x12=48
4x13=52
4x15=60
4x16=64
4x18=72
4x21=84
4x23=92
4x25=100
4x27=108
Arkadaşlar geriye dönmemek için bunları baştan öğrenelim ki işlem hızımız artsın,matematik sıkıcı ve zor gelmesin.
3x3=9
3x(3x3)=3x9=27 veya (3x3)x3=9x3=27
(3x3)x(3x3)=9x9=81
3x(3x3)x(3x3)=3x81=243
(3x3)x(3x3)x(3x3)=9x(9x9)=9x81=729
Buradan yararlanarak 3 taban olmak üzere üslü ifade ve eşitlerini yazınız.
Ayrıca 9 üzeri 2(9'un karesi) ve 9 üzeri 3'ü de hesaplayabilirsiniz.
a/2=b/3=c/5 ise a+2b nin c?ye bölümü kaçtır?
Burada orantıyı incelersek 3 tane bilinmeyen olduğunu görürüz.
1 sayısını kullanarak bir orantı örüntüsü elde edelim:
1=1/1=2/2=3/3=4/4=5/5=?
Bu örüntü sonsuza kadar devam etmektedir.
Buradan a=2,b=3 ve c=5 sonucuna ulaşabiliriz.Farklı sonuçlar bulsak bile sadeleştirdiğimizde yukarıdaki sonuçlara ulaşırız.
Değerler yerine konduğunda 2+(2.3)/5=?
İşlemin sonucu (2+6)/5=8/5 olacaktır.
Ondalık olarak 1,6...
Soru: a/b=2/5 ve a+b=28 ise b-a kaçtır?
İki tane bilinmeyen var.
a sayısı, 2 ile doğru orantılıdır.
b sayısı, 5 ile doğru orantılıdır.
Buradan (a+b) toplamının 7?nin katı olduğunu görebiliyoruz.
28/7=4
4 tane 2,8 eder. a=8
4 tane 5,20 eder. b=20
b-a=20-8=12
a/b=2/3 b/c=4/5 ise a/c kaçtır?
a/b=2/3 b/c=4/5
Burada iki tane ayrı orantı verilmiş.
İki orantıda da b?ler ortak.
İçler-dışlar çarpımı yaparsak;
a/b=2/3 orantısından 3a=2b elde ederiz.
b/c=4/5 orantısından 5b=4c elde ederiz.
Bu orantılarda payda eşitler gibi 2b?nin olduğu orantıyı 5 ile;5b?nin olduğu orantıyı ise 2 ile genişletirsek;
15a=10b ve 10b=8c sonuçlarını elde ederiz.
15a ve 8c ifedelerinin her ikisi de aynı ifadeye(10b)eşit olduğundan
15a=8c bulunur.
Buradan a/c ifadesi 8/15 olarak bulunur.
Konuyla ilgili soruların daha kolay çözülebilmesi için
-birim kesrin
-basit,bileşik ve tam sayılıkesirlerin(sorulan soruda gerekirse,bileşik kesri tam sayılı kesre,tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmenin)
-asal sayıların,
-bölünebilme kurallarının,
-kesirlerde genişletmenin,
-kesirlerde sadeleştirmenin,
-doğru ve ters orantının,
-orantı sabitinin iyi bilinmesi gerekir.
Ayrıca yukarıdaki yazdıklarımdan eksik bıraktığım varsa okuyan arkadaşlar düşünceleri ile katkıda bulunabilir,konunun daha kolay kavranmasını sağlayabiliriz.
Aşağıya daha önce hazırlamış olduğum asal sayılar ve 2,3,4,5,6 ve 9 ile bölünebilme ile ilgili dısyamın linkini veriyorum.
http://www.egitimhane.com/asal-s...a-bolunebilme-d22577.html
Bu linkteki dosyaya ulaştıktan sonra,
'Asal Sayılar Çarpanlarına Ayırma Bölünebilme Benzer Dosyalar' başlığının altındaki diğer dosyalara da ulşabilir,konuyu öğrenebileceğiniz dökümanlara ulaşmış olursunuz.
Asal sayıların bir kısmıyla işlem yapalım:
2,3,5,7,11,13,17,19,...
Şimdi birim kesirler yazıp asal sayılarla bu kesirleri genişletelim.
Şimdi yazacağımız kesirlerin payı 1 olacak:
1/2, 1/3, 1 /4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10,...
Görüldüğü gibi payı 1 olan kesirler...
Bunları asal sayılarla genişletelim.
Payı ve paydayı aynı sayı ile çarpma işlemine kesrin genişletilmesi,
payı ve paydayı aynı sayıya bölme işlemine ise kesrin sadeleştirilmesi diyoruz.
Gireceğiniz sınavlardaki soruların cevap şıklarında kesrin en sade hâlinin yer alcağını belirterek bu konunun asla ihmal edilmeyip iyi bir şekilde öğrenilmesini öneriyorum.
Aşağıya daha önce hazırlamış olduğum asal sayılar ve 2,3,4,5,6 ve 9 ile bölünebilme ile ilgili dısyamın linkini veriyorum.
http://www.egitimhane.com/asal-s...a-bolunebilme-d22577.html
1/2,kesrini 2 sayısıyla genişletelim.
Elimizde 1/2 elma var.Yani 2'ye bölünmüş ve 1 parçası alınmış.
Bunu 2 sayısı ile genişletmek demek yarım elmayı eşit olacak şekilde 2'ye bölmek demektir.
1/2=1x2/2x2
=2/4
Kesrin hem payını(1) hem de paydasını(2),2 sayısıyla çarptık.
Kesrin değerinin değişmediğini,4 parçadan 2'si tanımından anlayabiliriz.
Şimdi de 1/2 kesrini 3,5,7,11 sayılarıyla genişletelim:
1/2=1x3/2x3
3/6
1/2=1x5/2x5
=5/10
1/2=1x7/2x7
=7/14
Kesirleri incelediğimizde paydanın payın 2 katı olduğunu görürüz.
Diğer bir ifade ile 'pay paydanın yarısıdır.'
Kesirlerde genişletme yaptığımızda kesrin değeri değişmez.
Şimdi elinize kağıt,kalem alıp bunları tekrarlayın,daha sonra da işlemin tersini yapıp sadeleştirin.Göreceksiniz işiniz çok kolay olacak.
Allah,zihin açıklığı versin.
Kesirlerde genişletme ile ilgili örnekler vermeye çalıştım.Genişletilmiş olan kesirlerin değeri değişir mi?Değişip değişmediğini orantı yardımıyla bulabiliriz.
1/2=2/4 orantısına bakalım.İçler dışlar çarpmı yaparsak;
1x4=2x2
4=4
O halde yaptığımız genişletme doğrudur.Aynı zamanda genişletme yoluyla orantı da oluşturabiliyoruz:
1/2 =2/4=5/10=7/14
Bu kesirlerden herhangi ikisini ya da üçünü alarak orantı oluşturabiliriz.Bu kesirlerin en sade hali 1/2 kesridir.Sınavlarda diğer sonuçları bulduğumuzda sadeleştirmemiz gerekir.Çünkü en sade hali şıklara konmuştur.
Sanırım kesirlerde genişletme yeterince anlaşılmıştır.Konuyu pekiştirmek için bir elmayı 2'ye bölün;2 parçadan 1'i, 2'de 1'dir. Ya da 1 bölü 2'dir.(1 elma 2'ye bölündü değil mi?)Daha sonra yarım elmaları tekrar 2'ye bölerek ortaya çıkan kesirleri yazabiliriz.Bunu yaptığımızda kesri 2 sayısıyla genişletmiş olduk.Elmanın çeyreğini de 2 eş parçaya bölerek,1/8 kesrini elde etmiş oluruz.
Bunu yapmamızın nedeni elmayı yiyerek çıkarma yapmak;ayrıca görme,koklama,tat alma ve dokunma duyularından yararlanmaktır.Sesini de yerken duyabiliriz.Böylece beynimizdeki optik okuyucuya beş duyu vasıtasıyla bilgi göndermiş oluruz.
Bunları yapmak,başlangıçta bize sıkıcı gelebilir.Zaman kaybettirdiğini düşünebiliriz.Ancak unutmayalım ki bilgi günlük hayatta kullanmak içindir.Kalıcı bilgi ise birden fazla duyu organının kullanılmasıyla daha kolay gerçekleşir.
Sınavlarda bir kesrin en sade halinin şıklarda yer alması sadeleştirme konusunun önemini artırmaktadır.
Şimdi de kesirlerde sadeleştirme yapalım.
Yine kolaylık olması açısından genişletmiş olduğumuz kesirleri sadeleştireceğiz.Böylece hem yaptığımız işlemin doğruluğunu kontrol etmiş olacağız hem de kendi kendimize soru üretip cevaplandırmış olacağız.
2/4 kesrini 1/2 kesrini 2 sayısıyla genişleterek elde etmiştik.Şimdi yaptığımız işlemin tersini yapalım:Çarpmanın tersi bölmedir.Geldiğimiz yerin tersine gideceğimiz için başlangıç noktasına olan mesafe aynı kalacaktır.Yani işlem bölme ve 2'ye böleceğiz.Kesrin hem payını hem de paydasını aynı sayıya böleceğiz.Bu işleme sadeleştirme diyoruz.Bunun nedeni ise hem payın hem de paydanın 2'ye bölünebilmesidir.
2/4=2:2/4:2 2'nin 2'ye bölümü(2:2) 1 eder.Bunu paya yazarız.
4:2=2 olduğundan bunu da paydaya yazarız.Sonuç:1/2
Başlangıç noktasına dönmüş olduk.
3/6 kesrini sadeleştirelim.
1/2 kesrinin hem payını hem de paydasını 3 ile çarparak genişletmiştik.Çarpmanın tersi bölmedir,böleceğiz.
Kaça böleceğiz?Başlangıç noktasına giden yol,geldiğimiz yoldur:3'e böleceğiz payı ve paydayı.
3/6=3:3/6:3 3:3=1 ve 6:3=2 olduğundan
sonuç 1/2'dir.
5/10 kesri sadeleştirilebilir mi?
Hem pay,hem de payda 5'in katıdır,5'e bölünerek sadeleştirilebilir.
5/10=5:5/10:5 5:5=1 ve 10:=2 olduğundan
sonuç, 1/2'dir.
7/14 kesrinde hem pay hem de payda 7'nin katıdır.7 ile sadeleştirelim.
7/14=7:7/14:7=1/2
Oran ve orantı,kesirler konularının iyi anlaşılması için sayı doğrusunu kullanmalıyız.
Gerekirse kesrin değeri hakkında tahmin yapalım ve değerini payı paydaya bölerek bulalım.Eğer işlem uzunsa hesap makinesi kullanabilirsiniz.Kısa işlemleri de hesap makinesi ile de kontrol edebilirsiniz.
Kesirlerin değerini bulduktan sonra sayı doğrusu üzerinde gösterebiliriz.Eğer payda 2 ise iki tam sayı arasını 2 eş parçaya,3 ise 3 eş parçaya,4 ise 4 eş parçaya,... böleriz ve işimizi kolaylaştırırız.Paydaları eşitleyeceksek önce payda eşitleme işlemini yapalım.
1/2, 2/2 , 3/2, 4/2, 5/2,... kesirlerini sayı doğrusu üzerinde gösterip değerlerini öğrenelim.
1/2 kesrinde 2 eş parçadan biri alınmış.1'i 2'ye böldümüzde tam sayıya ulaşamayacağımız için 1/2 kesri 1 tam sayısından küçüktür.
Sıfır ile 1 arasını 2 eş parçaya ayıralım ve çizginin olduğu yere 1/2 yazalım.
2/2'nin yeri 2 paraçaya bölünmüş ve 2'si de alınmış, tama(bütüne) eşittir.
2/2: 2'yi böl 2'ye,2'nin içinde 2,1 tane vardır.1 bütün
2/2 kesri 1 tam sayısına karşılık gelmektedir.
3/2: 3'ü böl 2'ye 1 tane tam var,1 tane de yarım var. tam sayısı ile 2 tam sayısının arasındaki uzaklığı 2 eş parçaya bölüyoruz ;3/2 orta noktadadır.
Bütünler 2 eş parçaya bölünmüş.3 tane paraça alınmış.Yani 3 tane 1/2
sayı doğrusunda sayalım:1/2,2/2,3/2
Elinize kağıt kalem alıp işlemleri yaparsanız daha iyi anlarsınız.Allah zihin açıklığı versin,cümlemize,amin.
4/2, 5/2, 6/2, 8/2, 11/2 kesirlerini de siz sayı doğrusu üzerinde gösterebilirsiniz.Başarılar dilerim.
1/3 kesrini sayı doğrusu üzerinde gösterelim. 3 eş parçadan 1'i
Sıfır ile 1 arasını 3 eş parçaya bölelim.İlk çizgi 1/3 ,ikinci çizgi 2/3'tür.
3/3 kesri 1 tam sayısına eşittir.
4/3 kesri,1 tam 1/3'e eşittir.1'den büyük,2'den küçüktür.
5/3 kesri,1 tam 2/3'e eşittir.1'den büyük,2'den küçüktür.
6/3 ise, 2 tam sayısına eşittir.6'yı böl 3'e eşittir 2.Bütünler 3 eş parçaya ayrılmış.6 parça alınmış.
1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5,4/5,1/6,5/6, 1/7,
2/7 ,3/7, 4/7 ,5/7, 6/7, 1/8 ,3/8 ,5/8 ,7/8 ,1/9 ,2/9,4/9
5/9, 7/9, 8/9, 1/10, 3/10, 7/10, 9/10
kesirlerini sırasıyla 2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,16,18,21,24 sayılarıyla genişletelim.
Sonra aynı sayılarla sadeleştirelim.Zaman alacak gibi görünse de her gün azar azar yaparak bir aya da yayabiliriz.
Aynı cinsten iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir.
Örnek:
Ela' ağırlığı/Lale'nin ağırlığı=36 kg/48 kg
36kg:12/48 kg:12=3/4
Oya'nın matematik notu/Kaya'nın matematik notu=2/4
2:2/4:2=1/2
İki oranın eşitliğine ise orantı denir.
a/b=c/d orantısında a,1. terim;b,2. terim;c,3. terim,d ise 4. terim olarak kabul edilirse a ve d' yi dışlar,b ve c' yi ise içler olarak alırız.
1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5,4/5,1/6,5/6, 1/7,
2/7 ,3/7, 4/7 ,5/7, 6/7, 1/8 ,3/8 ,5/8 ,7/8 ,1/9 ,2/9,4/9
5/9, 7/9, 8/9, 1/10, 3/10, 7/10, 9/10
Daha önce yazdığım bu kesirler paydası 2,3,4,5,6,7,8,9,10 olanların en sade halidir,inşaallah unuttuğum yoktur.
İçler,dışlar çarpımı birbirine eşitttir.
İç terimlerin çarpımı ile dış terimlerin çarpımının birbirine eşit olduğunu belirtmiştik.Diğer özelliklerini de örneklerle anlatmaya çalışalım:
1)Bir orantıda iç terimlerin yerlerini değiştirdiğimizde eşitlik bozulmaz.Çünkü zaten iç terimler birbirleri ile çarpılacağı için yerleri değişmiş olur.Çarpmada çarpanların yerleri değiştiğinde çarpım sonucu değişmez.
1/2=3/6 orantısında iç terimler 2 ve 3'tür.
Yerlerini değiştirdiğimizde 1/3=2/6 orantısını elde ederiz.
1/3=2:2/6:2
1/3=1/3
Eşitliğin bozulmadığını sanıyorum görüyorsunuz.Çünkü sadece yerleri değişti.
2)Eşitliğin bozulmaması dış terimlerin yer değiştirmesinde de geçerlidir.
1/2=3/6 orantısında dış terimler 1 ve 6'dır.Yerlerinin değimesinin eşitliği bozmayacağını çarpmanın değişme özelliğinden de anlayabiliriz.
1x6=2X3 6=6 eşitlik var.
Yerlerini değiştirelim.
6/2=3/1 3=3 Eşitlik bozulmadı.
3)Bir orantıda her iki oranın pay ve paydasını yerleri değiştirilirse eşitlik bozulmaz.
1/2=3/6 Burada paylar 1 ve 3,paydalar ise 2 ve 6'dır.
Yerlerini değiştirelim:
2/1=6/3
2/1=6:3/3:3
2=2/1
2=2
Oran ve orantıyı daha iyi anlamak için kendimiz orantı oluşturup soru hazırlayalım:
1/3 kesrini aldım ve 2 sayısı ile genişlettim;2/6 oldu.
Şimdi 1/3=2/6 yazdım ve orantı oluştu.Yeni orantılar oluşturmak için kesirlerde genişletme ve sadeleştirmeler yapalım,bir süre sonra kendiniz zihinden orantılar hatta örüntüler oluşturacaksınız.
1/3 kesrini değişik sayılarla genişletin ve yeni oran ve orantılar oluşturun.Soruları sizin hazırlamanız konuyu sevmenize,yabancılılık çekmemenize yardımcı olacaktır.
Konunun daha iyi anlaşılabilmesi için lütfen bölme ve bölünebilme konusunu tekrar edip eksiğimiz varsa giderelim.
Kesir takımında 1/2 kesrini belirten çizgiye baktığımızda ona denk olan 2/4,3/6,4/8 kesirleri görebiliriz.
Yine 1/3 kesrine denk olan kesirleri görebilir,denk kesirlerle genişletme ve sadeleştirme işlemlerini görsel olarak da yapabiliriz.
Ayrıca öğrencilerimiz yalnız başlarına çalışırlarken kesirleri görsellerle çalışacak,yaptıkları işlemleri kontrol edebileceklerdir.
Kesir takımında 1/2 kesrini belirten çizgiye baktığımızda ona denk olan 2/4,3/6,4/8 kesirleri görebiliriz.
Yine 1/3 kesrine denk olan kesirleri görebilir,denk kesirlerle genişletme ve sadeleştirme işlemlerini görsel olarak da yapabiliriz.
Gelelim kavranmasında zorlanılan bölme işlemine:
Yarımın içinde kaç tane çeyrek vardır?
2 tane
İşlemi yapmadan yazalım1/2:1/4=2
Acaba işlemle nasıl anlatabiliriz?
1/2'ye kadar yazdım ve uzun bölü çizgisine geldim.
Buradaki mantık:Bölü yerine çarpı yazıyorum.Yani bölmenin tersini yapıyorum ve bunu yaptığım için de alttaki kesri de ters çeviriyorum.
1/2x4/1=1x4/2x1=4/2=2
Yarımın içinde 2 tane çeyrek olduğu için işlemimiz doğrudur.
Bu değerler ayrıca kesir takımı üzerinde de gösterilebilir.
Bölme yapılırken uzun kesir çizgisine dikkat edilir:
Üstteki kesir aynen yazılır,alttaki kesir ters çevrilip çarpılır.
İşlemler öğrenci için yabancı gelmesin,öncelikle.Problem çözümlerine de geçebiliriz.
Kolaydan zora,bilinenden bilinmeyene doğru...
Sakın bu ilkeleri ihmal etmeyelim.İhmal edip iyi iletişim kuramazsak öğrenci matematikten soğur ve korkmaya başlar.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
Dört işlemin özelliklerine,tam sayılara,bayağı kesirlere,ondalık kesirlere başlamadan önce sizi için bir başlangıç olması açısından ön çalışma yapalım.
Bölünebilme konusu karşınıza çıkacaktır.Ayrıca bazı konuların sayıların katları ile ilgili olması nedeniyle gelin önce biraz çarpma yapıp işlem hızımızı yükseltip hafızamıza bazı çarpım sonuçlarını yerleştirelim.
2x2=4 (2x2)x2=4x2=8 ya da 2x(2x2)=2x4=8 veyahut da 2x2x2=8
2x(2x2x2)=2X8=16 ya da (2x2x2)x2=8X2=16 veyahut da
(2x2)x(2x2)=4x4=16
(Burada üslü sayılara da giriş yapalım:2 üssü sıfır(0) 1' e eşittir.
2 üzeri 1,2'ye eşittir.
2 üzeri 2=2x2=4
2 üzeri 3=2x2x2=8
2 üzeri 4=2x2x2x2=16
2x2x2x2x2=?
İstediğiniz şekilde paranteze alıp yapabilirsiniz,hangisi kolayınıza geldiyse.
(2x2)x(2x2)x2=(4x4)x2=16x2=32
2x(2x2)x(2x2)=2x(4x4)=2x16=32
Sorununu kolay çözülmesinde değişik yerlerden paranteze ayrılma çıkabilir.ben kafanızı karıştırmamak için bu kadar yazdım.
Bunları öğrendikten sonra
'2 üzeri 6' daha kolay öğrenilecektir.Buradaki çarpma işlemleri öncekilerle bağlantılıdır.Lütfen bilgileri sindire sindire gidelim.
2 üzeri 6=2x(2x2x2x2x2) parentez içini daha önce bulmuştuk(32),yerine yazalım.
2x32=64
Şimdi de 2 üzeri 2'yi yani 4'ü değişik sayılarla çarpıp öğrenelim.Bunlar payda eşitlemede,üslü ve köklü sayılarda kullanılabilecektir.
4x5=20
4x6=24
4x7=28
4x8=32
4x9=36
4x10=40
4x11=44
4x12=48
4x13=52
4x15=60
4x16=64
4x18=72
4x21=84
4x23=92
4x25=100
4x27=108
Arkadaşlar geriye dönmemek için bunları baştan öğrenelim ki işlem hızımız artsın,matematik sıkıcı ve zor gelmesin.
3x3=9
3x(3x3)=3x9=27 veya (3x3)x3=9x3=27
(3x3)x(3x3)=9x9=81
3x(3x3)x(3x3)=3x81=243
(3x3)x(3x3)x(3x3)=9x(9x9)=9x81=729
Buradan yararlanarak 3 taban olmak üzere üslü ifade ve eşitlerini yazınız.
Ayrıca 9 üzeri 2(9'un karesi) ve 9 üzeri 3'ü de hesaplayabilirsiniz.
a/2=b/3=c/5 ise a+2b nin c?ye bölümü kaçtır?
Burada orantıyı incelersek 3 tane bilinmeyen olduğunu görürüz.
1 sayısını kullanarak bir orantı örüntüsü elde edelim:
1=1/1=2/2=3/3=4/4=5/5=?
Bu örüntü sonsuza kadar devam etmektedir.
Buradan a=2,b=3 ve c=5 sonucuna ulaşabiliriz.Farklı sonuçlar bulsak bile sadeleştirdiğimizde yukarıdaki sonuçlara ulaşırız.
Değerler yerine konduğunda 2+(2.3)/5=?
İşlemin sonucu (2+6)/5=8/5 olacaktır.
Ondalık olarak 1,6...
Soru: a/b=2/5 ve a+b=28 ise b-a kaçtır?
İki tane bilinmeyen var.
a sayısı, 2 ile doğru orantılıdır.
b sayısı, 5 ile doğru orantılıdır.
Buradan (a+b) toplamının 7?nin katı olduğunu görebiliyoruz.
28/7=4
4 tane 2,8 eder. a=8
4 tane 5,20 eder. b=20
b-a=20-8=12
a/b=2/3 b/c=4/5 ise a/c kaçtır?
a/b=2/3 b/c=4/5
Burada iki tane ayrı orantı verilmiş.
İki orantıda da b?ler ortak.
İçler-dışlar çarpımı yaparsak;
a/b=2/3 orantısından 3a=2b elde ederiz.
b/c=4/5 orantısından 5b=4c elde ederiz.
Bu orantılarda payda eşitler gibi 2b?nin olduğu orantıyı 5 ile;5b?nin olduğu orantıyı ise 2 ile genişletirsek;
15a=10b ve 10b=8c sonuçlarını elde ederiz.
15a ve 8c ifedelerinin her ikisi de aynı ifadeye(10b)eşit olduğundan
15a=8c bulunur.
Buradan a/c ifadesi 8/15 olarak bulunur.
Konuyla ilgili soruların daha kolay çözülebilmesi için
-birim kesrin
-basit,bileşik ve tam sayılıkesirlerin(sorulan soruda gerekirse,bileşik kesri tam sayılı kesre,tam sayılı kesri bileşik kesre çevirmenin)
-asal sayıların,
-bölünebilme kurallarının,
-kesirlerde genişletmenin,
-kesirlerde sadeleştirmenin,
-doğru ve ters orantının,
-orantı sabitinin iyi bilinmesi gerekir.
Ayrıca yukarıdaki yazdıklarımdan eksik bıraktığım varsa okuyan arkadaşlar düşünceleri ile katkıda bulunabilir,konunun daha kolay kavranmasını sağlayabiliriz.
Aşağıya daha önce hazırlamış olduğum asal sayılar ve 2,3,4,5,6 ve 9 ile bölünebilme ile ilgili dısyamın linkini veriyorum.
http://www.egitimhane.com/asal-s...a-bolunebilme-d22577.html
Bu linkteki dosyaya ulaştıktan sonra,
'Asal Sayılar Çarpanlarına Ayırma Bölünebilme Benzer Dosyalar' başlığının altındaki diğer dosyalara da ulşabilir,konuyu öğrenebileceğiniz dökümanlara ulaşmış olursunuz.
Asal sayıların bir kısmıyla işlem yapalım:
2,3,5,7,11,13,17,19,...
Şimdi birim kesirler yazıp asal sayılarla bu kesirleri genişletelim.
Şimdi yazacağımız kesirlerin payı 1 olacak:
1/2, 1/3, 1 /4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9, 1/10,...
Görüldüğü gibi payı 1 olan kesirler...
Bunları asal sayılarla genişletelim.
Payı ve paydayı aynı sayı ile çarpma işlemine kesrin genişletilmesi,
payı ve paydayı aynı sayıya bölme işlemine ise kesrin sadeleştirilmesi diyoruz.
Gireceğiniz sınavlardaki soruların cevap şıklarında kesrin en sade hâlinin yer alcağını belirterek bu konunun asla ihmal edilmeyip iyi bir şekilde öğrenilmesini öneriyorum.
Aşağıya daha önce hazırlamış olduğum asal sayılar ve 2,3,4,5,6 ve 9 ile bölünebilme ile ilgili dısyamın linkini veriyorum.
http://www.egitimhane.com/asal-s...a-bolunebilme-d22577.html
1/2,kesrini 2 sayısıyla genişletelim.
Elimizde 1/2 elma var.Yani 2'ye bölünmüş ve 1 parçası alınmış.
Bunu 2 sayısı ile genişletmek demek yarım elmayı eşit olacak şekilde 2'ye bölmek demektir.
1/2=1x2/2x2
=2/4
Kesrin hem payını(1) hem de paydasını(2),2 sayısıyla çarptık.
Kesrin değerinin değişmediğini,4 parçadan 2'si tanımından anlayabiliriz.
Şimdi de 1/2 kesrini 3,5,7,11 sayılarıyla genişletelim:
1/2=1x3/2x3
3/6
1/2=1x5/2x5
=5/10
1/2=1x7/2x7
=7/14
Kesirleri incelediğimizde paydanın payın 2 katı olduğunu görürüz.
Diğer bir ifade ile 'pay paydanın yarısıdır.'
Kesirlerde genişletme yaptığımızda kesrin değeri değişmez.
Şimdi elinize kağıt,kalem alıp bunları tekrarlayın,daha sonra da işlemin tersini yapıp sadeleştirin.Göreceksiniz işiniz çok kolay olacak.
Allah,zihin açıklığı versin.
Kesirlerde genişletme ile ilgili örnekler vermeye çalıştım.Genişletilmiş olan kesirlerin değeri değişir mi?Değişip değişmediğini orantı yardımıyla bulabiliriz.
1/2=2/4 orantısına bakalım.İçler dışlar çarpmı yaparsak;
1x4=2x2
4=4
O halde yaptığımız genişletme doğrudur.Aynı zamanda genişletme yoluyla orantı da oluşturabiliyoruz:
1/2 =2/4=5/10=7/14
Bu kesirlerden herhangi ikisini ya da üçünü alarak orantı oluşturabiliriz.Bu kesirlerin en sade hali 1/2 kesridir.Sınavlarda diğer sonuçları bulduğumuzda sadeleştirmemiz gerekir.Çünkü en sade hali şıklara konmuştur.
Sanırım kesirlerde genişletme yeterince anlaşılmıştır.Konuyu pekiştirmek için bir elmayı 2'ye bölün;2 parçadan 1'i, 2'de 1'dir. Ya da 1 bölü 2'dir.(1 elma 2'ye bölündü değil mi?)Daha sonra yarım elmaları tekrar 2'ye bölerek ortaya çıkan kesirleri yazabiliriz.Bunu yaptığımızda kesri 2 sayısıyla genişletmiş olduk.Elmanın çeyreğini de 2 eş parçaya bölerek,1/8 kesrini elde etmiş oluruz.
Bunu yapmamızın nedeni elmayı yiyerek çıkarma yapmak;ayrıca görme,koklama,tat alma ve dokunma duyularından yararlanmaktır.Sesini de yerken duyabiliriz.Böylece beynimizdeki optik okuyucuya beş duyu vasıtasıyla bilgi göndermiş oluruz.
Bunları yapmak,başlangıçta bize sıkıcı gelebilir.Zaman kaybettirdiğini düşünebiliriz.Ancak unutmayalım ki bilgi günlük hayatta kullanmak içindir.Kalıcı bilgi ise birden fazla duyu organının kullanılmasıyla daha kolay gerçekleşir.
Sınavlarda bir kesrin en sade halinin şıklarda yer alması sadeleştirme konusunun önemini artırmaktadır.
Şimdi de kesirlerde sadeleştirme yapalım.
Yine kolaylık olması açısından genişletmiş olduğumuz kesirleri sadeleştireceğiz.Böylece hem yaptığımız işlemin doğruluğunu kontrol etmiş olacağız hem de kendi kendimize soru üretip cevaplandırmış olacağız.
2/4 kesrini 1/2 kesrini 2 sayısıyla genişleterek elde etmiştik.Şimdi yaptığımız işlemin tersini yapalım:Çarpmanın tersi bölmedir.Geldiğimiz yerin tersine gideceğimiz için başlangıç noktasına olan mesafe aynı kalacaktır.Yani işlem bölme ve 2'ye böleceğiz.Kesrin hem payını hem de paydasını aynı sayıya böleceğiz.Bu işleme sadeleştirme diyoruz.Bunun nedeni ise hem payın hem de paydanın 2'ye bölünebilmesidir.
2/4=2:2/4:2 2'nin 2'ye bölümü(2:2) 1 eder.Bunu paya yazarız.
4:2=2 olduğundan bunu da paydaya yazarız.Sonuç:1/2
Başlangıç noktasına dönmüş olduk.
3/6 kesrini sadeleştirelim.
1/2 kesrinin hem payını hem de paydasını 3 ile çarparak genişletmiştik.Çarpmanın tersi bölmedir,böleceğiz.
Kaça böleceğiz?Başlangıç noktasına giden yol,geldiğimiz yoldur:3'e böleceğiz payı ve paydayı.
3/6=3:3/6:3 3:3=1 ve 6:3=2 olduğundan
sonuç 1/2'dir.
5/10 kesri sadeleştirilebilir mi?
Hem pay,hem de payda 5'in katıdır,5'e bölünerek sadeleştirilebilir.
5/10=5:5/10:5 5:5=1 ve 10:=2 olduğundan
sonuç, 1/2'dir.
7/14 kesrinde hem pay hem de payda 7'nin katıdır.7 ile sadeleştirelim.
7/14=7:7/14:7=1/2
Oran ve orantı,kesirler konularının iyi anlaşılması için sayı doğrusunu kullanmalıyız.
Gerekirse kesrin değeri hakkında tahmin yapalım ve değerini payı paydaya bölerek bulalım.Eğer işlem uzunsa hesap makinesi kullanabilirsiniz.Kısa işlemleri de hesap makinesi ile de kontrol edebilirsiniz.
Kesirlerin değerini bulduktan sonra sayı doğrusu üzerinde gösterebiliriz.Eğer payda 2 ise iki tam sayı arasını 2 eş parçaya,3 ise 3 eş parçaya,4 ise 4 eş parçaya,... böleriz ve işimizi kolaylaştırırız.Paydaları eşitleyeceksek önce payda eşitleme işlemini yapalım.
1/2, 2/2 , 3/2, 4/2, 5/2,... kesirlerini sayı doğrusu üzerinde gösterip değerlerini öğrenelim.
1/2 kesrinde 2 eş parçadan biri alınmış.1'i 2'ye böldümüzde tam sayıya ulaşamayacağımız için 1/2 kesri 1 tam sayısından küçüktür.
Sıfır ile 1 arasını 2 eş parçaya ayıralım ve çizginin olduğu yere 1/2 yazalım.
2/2'nin yeri 2 paraçaya bölünmüş ve 2'si de alınmış, tama(bütüne) eşittir.
2/2: 2'yi böl 2'ye,2'nin içinde 2,1 tane vardır.1 bütün
2/2 kesri 1 tam sayısına karşılık gelmektedir.
3/2: 3'ü böl 2'ye 1 tane tam var,1 tane de yarım var. tam sayısı ile 2 tam sayısının arasındaki uzaklığı 2 eş parçaya bölüyoruz ;3/2 orta noktadadır.
Bütünler 2 eş parçaya bölünmüş.3 tane paraça alınmış.Yani 3 tane 1/2
sayı doğrusunda sayalım:1/2,2/2,3/2
Elinize kağıt kalem alıp işlemleri yaparsanız daha iyi anlarsınız.Allah zihin açıklığı versin,cümlemize,amin.
4/2, 5/2, 6/2, 8/2, 11/2 kesirlerini de siz sayı doğrusu üzerinde gösterebilirsiniz.Başarılar dilerim.
1/3 kesrini sayı doğrusu üzerinde gösterelim. 3 eş parçadan 1'i
Sıfır ile 1 arasını 3 eş parçaya bölelim.İlk çizgi 1/3 ,ikinci çizgi 2/3'tür.
3/3 kesri 1 tam sayısına eşittir.
4/3 kesri,1 tam 1/3'e eşittir.1'den büyük,2'den küçüktür.
5/3 kesri,1 tam 2/3'e eşittir.1'den büyük,2'den küçüktür.
6/3 ise, 2 tam sayısına eşittir.6'yı böl 3'e eşittir 2.Bütünler 3 eş parçaya ayrılmış.6 parça alınmış.
1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5,4/5,1/6,5/6, 1/7,
2/7 ,3/7, 4/7 ,5/7, 6/7, 1/8 ,3/8 ,5/8 ,7/8 ,1/9 ,2/9,4/9
5/9, 7/9, 8/9, 1/10, 3/10, 7/10, 9/10
kesirlerini sırasıyla 2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,16,18,21,24 sayılarıyla genişletelim.
Sonra aynı sayılarla sadeleştirelim.Zaman alacak gibi görünse de her gün azar azar yaparak bir aya da yayabiliriz.
Aynı cinsten iki çokluğun bölme yoluyla karşılaştırılmasına oran denir.
Örnek:
Ela' ağırlığı/Lale'nin ağırlığı=36 kg/48 kg
36kg:12/48 kg:12=3/4
Oya'nın matematik notu/Kaya'nın matematik notu=2/4
2:2/4:2=1/2
İki oranın eşitliğine ise orantı denir.
a/b=c/d orantısında a,1. terim;b,2. terim;c,3. terim,d ise 4. terim olarak kabul edilirse a ve d' yi dışlar,b ve c' yi ise içler olarak alırız.
1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5,4/5,1/6,5/6, 1/7,
2/7 ,3/7, 4/7 ,5/7, 6/7, 1/8 ,3/8 ,5/8 ,7/8 ,1/9 ,2/9,4/9
5/9, 7/9, 8/9, 1/10, 3/10, 7/10, 9/10
Daha önce yazdığım bu kesirler paydası 2,3,4,5,6,7,8,9,10 olanların en sade halidir,inşaallah unuttuğum yoktur.
İçler,dışlar çarpımı birbirine eşitttir.
İç terimlerin çarpımı ile dış terimlerin çarpımının birbirine eşit olduğunu belirtmiştik.Diğer özelliklerini de örneklerle anlatmaya çalışalım:
1)Bir orantıda iç terimlerin yerlerini değiştirdiğimizde eşitlik bozulmaz.Çünkü zaten iç terimler birbirleri ile çarpılacağı için yerleri değişmiş olur.Çarpmada çarpanların yerleri değiştiğinde çarpım sonucu değişmez.
1/2=3/6 orantısında iç terimler 2 ve 3'tür.
Yerlerini değiştirdiğimizde 1/3=2/6 orantısını elde ederiz.
1/3=2:2/6:2
1/3=1/3
Eşitliğin bozulmadığını sanıyorum görüyorsunuz.Çünkü sadece yerleri değişti.
2)Eşitliğin bozulmaması dış terimlerin yer değiştirmesinde de geçerlidir.
1/2=3/6 orantısında dış terimler 1 ve 6'dır.Yerlerinin değimesinin eşitliği bozmayacağını çarpmanın değişme özelliğinden de anlayabiliriz.
1x6=2X3 6=6 eşitlik var.
Yerlerini değiştirelim.
6/2=3/1 3=3 Eşitlik bozulmadı.
3)Bir orantıda her iki oranın pay ve paydasını yerleri değiştirilirse eşitlik bozulmaz.
1/2=3/6 Burada paylar 1 ve 3,paydalar ise 2 ve 6'dır.
Yerlerini değiştirelim:
2/1=6/3
2/1=6:3/3:3
2=2/1
2=2
Oran ve orantıyı daha iyi anlamak için kendimiz orantı oluşturup soru hazırlayalım:
1/3 kesrini aldım ve 2 sayısı ile genişlettim;2/6 oldu.
Şimdi 1/3=2/6 yazdım ve orantı oluştu.Yeni orantılar oluşturmak için kesirlerde genişletme ve sadeleştirmeler yapalım,bir süre sonra kendiniz zihinden orantılar hatta örüntüler oluşturacaksınız.
1/3 kesrini değişik sayılarla genişletin ve yeni oran ve orantılar oluşturun.Soruları sizin hazırlamanız konuyu sevmenize,yabancılılık çekmemenize yardımcı olacaktır.
Konunun daha iyi anlaşılabilmesi için lütfen bölme ve bölünebilme konusunu tekrar edip eksiğimiz varsa giderelim.
Kesir takımında 1/2 kesrini belirten çizgiye baktığımızda ona denk olan 2/4,3/6,4/8 kesirleri görebiliriz.
Yine 1/3 kesrine denk olan kesirleri görebilir,denk kesirlerle genişletme ve sadeleştirme işlemlerini görsel olarak da yapabiliriz.
Ayrıca öğrencilerimiz yalnız başlarına çalışırlarken kesirleri görsellerle çalışacak,yaptıkları işlemleri kontrol edebileceklerdir.
Kesir takımında 1/2 kesrini belirten çizgiye baktığımızda ona denk olan 2/4,3/6,4/8 kesirleri görebiliriz.
Yine 1/3 kesrine denk olan kesirleri görebilir,denk kesirlerle genişletme ve sadeleştirme işlemlerini görsel olarak da yapabiliriz.
Gelelim kavranmasında zorlanılan bölme işlemine:
Yarımın içinde kaç tane çeyrek vardır?
2 tane
İşlemi yapmadan yazalım1/2:1/4=2
Acaba işlemle nasıl anlatabiliriz?
1/2'ye kadar yazdım ve uzun bölü çizgisine geldim.
Buradaki mantık:Bölü yerine çarpı yazıyorum.Yani bölmenin tersini yapıyorum ve bunu yaptığım için de alttaki kesri de ters çeviriyorum.
1/2x4/1=1x4/2x1=4/2=2
Yarımın içinde 2 tane çeyrek olduğu için işlemimiz doğrudur.
Bu değerler ayrıca kesir takımı üzerinde de gösterilebilir.
Bölme yapılırken uzun kesir çizgisine dikkat edilir:
Üstteki kesir aynen yazılır,alttaki kesir ters çevrilip çarpılır.
İşlemler öğrenci için yabancı gelmesin,öncelikle.Problem çözümlerine de geçebiliriz.
Kolaydan zora,bilinenden bilinmeyene doğru...
Sakın bu ilkeleri ihmal etmeyelim.İhmal edip iyi iletişim kuramazsak öğrenci matematikten soğur ve korkmaya başlar.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
Bu mesaja teşekkür edenler:
Cevap:Kpss Matematik (22.12.2013 20:15:29)
İşçi ve havuz problemlerine şöyle başlayalım:
4 eşit büyüklükteki duvarı bir işçi 8 günde boyasın.Bir günde yarısını yani 1/2'sini boyar.
2 günde ne kadarını boyar? 2 tane gün: tane 1/2:2x1/2=2/2=1 duvar bo.
3 günde ne kadarını boyar?
4 günde ne kadarını boyar?
5 günde ne kadarını boyar?
6 günde ne kadarını boyar?
7 günde ne kadarını boyar?
8 günde ne kadarını boyar?
Kümeler birçok konunun başlangıdır belki.
Boş bir kalemlikte sıfır(0) kalem vardır.Bu kümenin alt kümesi kendisidir.Yani 1 tane alt kümesi vardır.
Eğer kalemlikte 1 tane kalem varsa alt kümeleri sıfır elemanlı(boş kalemlik) ve kendisidir.yani sıfır elemanlı 1 tane,1 elemanlı 1 tane olmak üzere 2 tane alt kümesi vardır.
4x4=16
4x(4x4)=64
(4x4)x(4x4)=16x16=256
4x(4x4)x4=(4x16)x4=64x4=256
4x(4x4)x(4x4)=4x256=1024
5x5=25
5x(5x5)=5x25=125
(5x5)x5=25x5=125
(5x5)x(5x5)=25x25=625
6x(6x6)=6x36=216
(6x6)x6=36x6=216
7x7=49
7x(7x7)=7x49=243
8x8=64
8x(8x8)=8x64=512
(8x8)x8=64x8=512
9x9=81
9(9x9)=9x81=729
(9x9)x9=81x9=729
4 üzeri 2=4x4=16
4 üzeri 3=4x4x4=64
4 üzeri 4=4x4x4x4=256
4 üzeri 5=4x4x4x4x4=1024
4 üzeri 6=4x4x4x4x4x4=4096
Buradaki bilgiler yardımıyla tabanları aynı olan üslü sayıların çarpımında üslerin çarpılacağı sonucuna ulaşılır.
5 üzeri 2=5x5=25
5 üzeri 3=5x(5x5)=5x25=125
5 üzeri 4=(5x5)x(5x5)=625
5 üzeri 5=5x(5x5)x(5x5)=5x625=3125
6 üzeri 2=36
6 üzeri 3=216
7 üzeri 2=49
7 üzeri 3=243
8 üzeri 2=64
8 üzeri 3=512
9 üzeri 2=81
9 üzeri 3=729
İşçi ve havuz problemlerine şöyle başlayalım:
4 eşit büyüklükteki duvarı bir işçi 8 günde boyasın.Bir günde yarısını yani 1/2'sini boyar.
2 günde ne kadarını boyar? 2 tane gün: tane 1/2:2x1/2=2/2=1 duvar bo.
3 günde ne kadarını boyar?
4 günde ne kadarını boyar?
5 günde ne kadarını boyar?
6 günde ne kadarını boyar?
7 günde ne kadarını boyar?
8 günde ne kadarını boyar?
Bu konunun kolay anlaşılması için çözebileceğiniz kolay problemler oluşturabilirsiniz.
Boyanacak 3 oda ve her odada eşit büyüklükte 4'er duvar bulunsun.İşçinin biri günde 2 duvar,diğeri 1 duvar boyasın.Ne kadar sürede işi bitirebilirler?
Sorunun cevabını kesirleri kullanarak bulmaya çalışalım:
3 odada 4'er duvar;3 tane 4,12 eder.
Bu soruda boyanacak yeri 12 parça olarak düşünebiliriz.
İşçinin biri günde 12'de 1'ini,
diğeri ise 12'de 2'sini boyamaktadır.
Bunları toplayıp 1 günde boyanan bölgeyi kesir olarak ifade edelim.
Kpss'ye hazırlanan arkadaşlar, ben neden ısrarla yazıyorum anlatayım:
Sayısalda zor anlama ilkokul konularından başlıyor,sonra da 6,7,,8 sizin eksiğinizi fazlasıyla giderecek döküman var bu sitede.Ben de konuları elimden geldiğince basitleştirmeye,çeşitli açılardan anlatmaya çalışıyorum.ben de biliyorum,çok site var bu konuları anlatan.Ama ben eminim ki sizin ilacınız bu sitede.Buna inanmasam başka sitelere anlatım ve döküman gönderirdim.Siz bizi takip edin,anlayamazsanız lütfen sorun.
Yıllar önce dershaneye giden her dersten başarılı ama matematiği anlayamayan bir genç vardı.Ben dershaneye gittiğini ama orada da anlayamadığını öğrendim.Haliyle öğretmen sınıf seviyesinde anlatacaktı.Ben 4-5 konuyu basitleştirip kağıda yazıp verdim.Bir süre sonra kendine güveni gelmiş.Üniversiteyi kazanmış.Daha sonra girdiği Kpss'den 98 almış.Yani Türkiye'de kendi branşında 1. olmuş.Kendi alanında iki öğretmen almışlar.
Siz bizi takip edip yardım isteyin,inşaallah başaracaksınız.Allah zihin açıklığı versin.
Şimdi de bazı tavsiyeler vereyim:
Somuttan soyuta doğru gidelim.Soruyu kendimizle bütünleştirelim.Problemse problemin kahramanı biz olalım.Zaman kaybederim diye korkmayın,inanın zaman kazanacaksınız. Gerekirse şekil kullanın.Hatta başlangıçta keçeli kalemle soru çözün.Yazınızı güzelleştirin.Bu hem konuyu sevdirecek hem de hafızanızı güçlendirecektir.Yapılan araştırmalar istenmeyen,sevilmeyenlerin beyin tarafından silinmek istendiğini göstermektedir.
Konuları basitten karmaşığa,kolaydan zora doğru çalışmakta yarar var.Acele edersek kafamızdaki soru işaretleri artacağından konuyu sevemeyebiliriz.Mümkünse basit problemleri kendimiz hazırlayalım.Sitemizdeki eğitim günlüklerini iyi takip edelim.Konuyu gerekirse 4. ya da 5. sınıf seviyesinden alarak başlayalım.Bu bize zaman kaybettimez. Aksine konuyu anladıkça zaman kazanırız.
Bu konunun kolay anlaşılması için çözebileceğiniz kolay problemler oluşturabilirsiniz.
Boyanacak 3 oda ve her odada eşit büyüklükte 4'er duvar bulunsun.İşçinin biri günde 2 duvar,diğeri 1 duvar boyasın.Ne kadar sürede işi bitirebilirler?
Sorunun cevabını kesirleri kullanarak bulmaya çalışalım:
3 odada 4'er duvar;3 tane 4,12 eder.
Bu soruda boyanacak yeri 12 parça olarak düşünebiliriz.
İşçinin biri günde 12'de 1'ini,
diğeri ise 12'de 2'sini boyamaktadır.
Bunları toplayıp 1 günde boyanan bölgeyi kesir olarak ifade edelim.
İşçilerden biri 1 günde işin 12'de 1'ini,diğeri ise 12'de 2'sini yapmaktadır.
Bu iki kesri toplayıp 1 günde yapılan işi bulalım.
1/12+2/12=3/12
1 günde işin 12'de 3'ü yani 3/12'si yapılmaktadır.
İşin tamamı ise 12/12'dir.
Çözüme çarpma ya da bölme yoluyla kısa yoldan ulaşabiliriz.
3/12'yi ne ile çarparsam 12/12 eder?
Daha önceki bilgilerimize göre paylar çarpılıp paya yazılacağı için cevap 4 olacaktır.
4 tane 3/12 kaç eder?
4x3/12=12/12
12/12 ya da bir bütünü 3/12'ye ya da 1/4'e(3/12 sadeleştirilince 1/4 eder) bölerek sonucu bulabiliriz.1 bütünde 4 çeyrek vardır.Ya da 12/12'de 4 tane 3/12 eder.
Kesirlerle toplama ve çıkarmaya yeni başladıysanız mutlaka görsel kullanınız.
Basit toplama ve çıkarma işlemlerini zihinden yapamıyorsanız görsel kullanarak işlem yapmaya devam ediniz.
Bölme,bölünebilme konusunda aynı sayıları çarparak konuyu basitleştirmeye,kullanacağımız sayıları pekiştirmeye çalıştık.
4,6,8,10,12,15,18,21,24,27,32,36,40,44,,48,52,56,64,72,81 gibi sayıları 3,4,5,6,7,8,9 ve 10 ile önce kağıt üzerinde sonra zihinden çarpalım.Sınavda kağıt üzerinde yapmanızı tavsiye ederim.Çünkü sınav heyecanı nedeniyle işlem hatası yapabiliriz.
Kesirlerde çıkarma işlemine başlarken yine görselleri,kesir takımını kullanalım.Bu hem somut düşünmeyi,hem de konunun daha iyi anlaşılmasını sağlayacaktır.
Kesir takımını inceleyelim ve 1 bütüne eşit olan kesirlere bakalım.
1=2/2=3/3=4/4=?
3/3 kesrinin şeklinden 1/3 kesrini çıkaralım.
Geriye 2/3 kesrinin kaldığını göreceğiz.Çıkarma işleminin özelliğine göre 2/3 çıkarsaydık 1/3 kalacaktı.
Şimdi de 4/4 kesrini inceleyelim.Bunun 1 bütün olduğunu görelim.Bu kesirden ¼ kesrini şekil üzerinde çıkaralım.Geriye ¾ kesri kalacaktır.Çıkan ile farkın yerlerini değiştirdiğimizde ise ¾ kesrini çıkardığımızda geriye kalan 1/4 kesri olacaktır.
4/4 kesrinden 2/4 kesrini çıkardığımızda ise geriye kalan(fark) yine 2/4 kesri olacaktır.Yani 1 bütünün içinde 2 tane 2/4 kesri vardır.
Kendimiz de bütünden buna benzer parçalar çıkararak konuyu pekiştirebiliriz.
Kesir takımından 8/8 kesrini alalım ve çıkarma işlemleri yapalım:
8/8-1/8=7/8
8/8-2/8=6/8
8/8-3/8=5/8
8/8-4/8=4/8
Çıkan ile farkın yerlerini değiştirip yeni çıkarmalar yapalım.
Şimdi de 4/4-2/8 işlemini yapalım.4/4 kesrini 2 sayısıyla genişletirsek 8/8 kesrini elde ederiz.Böylece bilinenden bilinmeyene yöntemini de uygulamış olduk.
4/4=2x4/2x4=8/8
8/8-2/8=6/8
6:2/8:2=3/4
Ya da
2/8=2:2/8:2=1/4
4/4-1/4=3/4
Kümeler birçok konunun başlangıdır belki.
Boş bir kalemlikte sıfır(0) kalem vardır.Bu kümenin alt kümesi kendisidir.Yani 1 tane alt kümesi vardır.
Eğer kalemlikte 1 tane kalem varsa alt kümeleri sıfır elemanlı(boş kalemlik) ve kendisidir.yani sıfır elemanlı 1 tane,1 elemanlı 1 tane olmak üzere 2 tane alt kümesi vardır.
2 elemanlı kümenin alt kümeleri;
A={1,2} olsun
sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
1 elemanlı alt küme sayısı:2, {1},{2}
2 elemanlı alt küme sayısı:1, {1,2} (kendisi)
3 elemanlı kümenin alt kümeleri
B={a,b,c} olsun.
sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
1 elemanlı alt küme sayısı:3 {a}, {b},{c}
2 elemanlı alt küme sayısı:3 {a,b},{a,c},{b,c}
3 elemanlı alt küme sayısı :1 {a,b,c} (kendisi)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
4 elemanlı kümenin alt kümeleri
A={1,2,3,4} olsun.
sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
1 elemanlı alt küme sayısı:4 {1},{2},{3},{4}
2 elemanlı alt küme sayıs:6 {1,2} {1,3}, {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}
3 elemanlı alt küme sayısı:4 {1,2,3}, {1,2,4},{ 1,3,4},{2,3,4}
4 elemanlı alt küme sayısı:1 {1,2,3,4} (kendisi),(kendisi hariç diğer alt kümelere özalt kümeler de denir.)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
2 elemanlıları bulurken ikişer ikişer kapatıyoruz.
3 elemanlıları bulurken birer birer kapatıyoruz.
Sanırım artık kesir problemlerine geçebiliriz.Kesirlerle yapacağınız dört işlemle ilgili takıldığınız bir yer varsa yazabilirsiniz.Tek işlemlileri yaptık.Birden fazla işlemlerde işlem önceliğne,sırasına dikkat edelim.
5 elemanlı bir kümenin alt kümelerini siz bulmayı deneyin.Önce 4 elemanlı kümenin alt kümelerini yazalım.Sonra yeni elemanla ne kadar alt küme oluştuğuna bakalım.
A={1,2,3,4,5} olsun.
A={1,2,3,4,5} olarak almıştık.
4 elemanlı kümenin alt kümelerine ekleme yapalımve nasıl oluştuğunu da görelim:
Boş küme yani sıfır elemanlı alt küme sayısı yine 1,
1 elemanlılara ek olarak {5}
2 elemanlılara ek olarak {1,5} {2,5} {3,5} {4,5}
3 elemanlılara ek olarak {1,2,5} {1,3,5} {1,4,5} {2,3,5} {2,4,5} {3,4,5}
4 elemanlılara ek olarak {1,2,3,5} {1,2,4,5} {1,3,4,5} {2,3,4,5 }
5 elemanlı 1 tane:{1,2,3,4,5}
Bu kümeleri 4 elemanlı kümenin alt kümelerine ekleyip düzenleyelim.Böylece 5 elemanlı kümenin alt kümeleri ortaya çıkmış olsun.
A={1,2,3,4,5} ise A kümesinin alt kümeleri
Sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
1 elemanlı alt küme sayısı:5 {1} {2} {3} {4} {5}
2 elemanlı alt küme sayısı:10 {1,2} {1,3} {1,4}{1,5}{2,3} {2,4}{2,5}{3,4} {3 ,5} {4,5}
3 elemanlı alt küme sayısı:10 {1,2,3} {1,2,4} {1,2,5} {1,3,4} {1,3,5}{1,4,5} {2,3,4} {2,3,5} {2,4,5} {3,4,5}
4 elemanlı alt küme sayısı: 5 {1,2,3,4} {1,2,3,5}{1,2,4,5} {1,3,4,5}
{2,3,4,5} (her seferinde 1 elemanın kapatıldığına dikkat edelim)
5 elemanlı alt küme sayısı:1 tane {1,2,3,4,5}
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Kpss'ye hazırlananlar,sonradan matematik öğrenenler,dışarıdan bitirme sınavlarına girenler özellikle ilköğretim konularıyla ilgilieksikliklerini gidermelidirler.
Belki 4.,5. sınıf konularını bile çalışmanız,tekrar etmeniz gerekebilir.Çünkü konular birbiriyle bağlantılıdır.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 5 10 10 5 1
Buradaki satırları sırasıyla açıklayalım:
1
Sıfır elemanlı kümenin alt küme sayısı boş küme yani kendisidir.
1 1
1 elemanlı kümenin alt küme sayısı 2'dir.Boş küme ve kendisi
1 2 1
Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
1 elemanlı alt küme sayısı :2
2 elemanlı alt küme sayısı :1 (kendisi)
1 3 3 1
Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
1 elemanlı alt küme sayısı :3
2 elemanlı alt küme sayısı :3
3 elemanlı alt küme sayısı :1 (kendisi)
1 4 6 4 1
Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
1 elemanlı alt küme sayısı :4
2 elemanlı alt küme sayısı :6
3 elemanlı alt küme sayısı :4
4 elemanlı alt küme sayısı :1 (kendisi)
1 5 10 10 5 1
Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
1 elemanlı alt küme sayısı :5
2 elemanlı alt küme sayısı :10
3 elemanlı alt küme sayısı :10
4 elemanlı alt küme sayısı :5
5 elemanlı alt küme sayısı :1 (kendisi)
B={1,2,3,4,5,6} alt kümelerini bulalım.
B={1,2,3,4,5,6} alt kümelerini bulurken
A={1,2,3,4,5} kümesine {6} elemanının bulunduğu alt kümeleri de ekleyelim.Bu konu pek çok konu için temel bilgi demektir.
B={1,2,3,4,5,6} alt kümelerini bulurken
A={1,2,3,4,5} kümesine {6} elemanının bulunduğu alt kümeleri de ekleyelim.Bu konu pek çok konu için temel bilgi demektir.
Sıfır elemanlı alt küme:{}
1 elemanlı alt kümeleri:{1},{2},{3},{4},{5},{6}
2 elemanlı alt kümeleri:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5}{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}
6 elemanlı kümenin alt kümeleri:
Sıfır elemanlı alt küme:{}
1 elemanlı alt kümeleri:{1},{2},{3},{4},{5},{6}
2 elemanlı alt kümeleri:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5}{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}
3 elemanlı alt kümeleri :{1,2,3} {1,2,4} {1,2,5} {1,2,6} {1,3,4} {1,3,5} {1,3,6} {1,4,5} {1,4,6}{1,5,6} {2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,4,5},{2,4,6},{2,5,6}{3,4,5},{3,4,6}{3,5,6}{4,5,6}
4 elemanlı kümeleri bulurken her seferinde farklı 2 eleman kapatırız.
5 elemanlı kümeleri bulurken her seferinde 1 elemanı kapatırız.
6 elemanlı kümenin 6 elemanlı alt kümesi kendisidir.Diğer kümeler ise özalt kümedir.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
6 elemanlı kümenin alt kümeleri
4 elemanlı alt kümeleri:
{1,2,3,4 } {1,2,3,5} {1,2,3,6}{1,2,4,5}{1,2,4,6}{1,2,5,6}{1,3,4,5}{1,3,4,6}{1,3,5,6}{1,4,5,6} {2,3,4,5}{2,3,4,6}{2,3,5,6}{2,4,5,6}{3,4,5,6}
5 elemanlı alt kümeleri:
{1,2,3,4,5} {1,2,3,4,6}{1,2,3,5,6}{1,2,4,5,6,} {1,3,4,5,6,}{2,3,4,5,6,}
6 elemanlı alt kümesi(kendisi):{1,2,3,4,5,6}
Bir toplantıda 8 kişi birbirleriyle birer defa tokalaşmıştır.Toplam kaç tokalaşma olmuştur?
Önce 2 kişi tokalaşmış olsun.Sadece 1 tokalaşma olacaktır.
Kişi sayısını 3'e çıkaralım.2 kişiyle tokalaşacaktır.2+1=3
Kişi sayısını 4'e çıkaralım.4. kişi 3 kişiyle tokalaşacaktır. 3+2+1=6
Kişi sayısını 5'e çıkaralım.5. kişi 4 kişiyle tokalaşacaktır. 4+3+2+1=10
............................. ........
8 kişi için 7+6+5+4+3+2+1=28 tokalaşma olacaktır.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
İşçi ve havuz problemlerine şöyle başlayalım:
4 eşit büyüklükteki duvarı bir işçi 8 günde boyasın.Bir günde yarısını yani 1/2'sini boyar.
2 günde ne kadarını boyar? 2 tane gün: tane 1/2:2x1/2=2/2=1 duvar bo.
3 günde ne kadarını boyar?
4 günde ne kadarını boyar?
5 günde ne kadarını boyar?
6 günde ne kadarını boyar?
7 günde ne kadarını boyar?
8 günde ne kadarını boyar?
Kümeler birçok konunun başlangıdır belki.
Boş bir kalemlikte sıfır(0) kalem vardır.Bu kümenin alt kümesi kendisidir.Yani 1 tane alt kümesi vardır.
Eğer kalemlikte 1 tane kalem varsa alt kümeleri sıfır elemanlı(boş kalemlik) ve kendisidir.yani sıfır elemanlı 1 tane,1 elemanlı 1 tane olmak üzere 2 tane alt kümesi vardır.
4x4=16
4x(4x4)=64
(4x4)x(4x4)=16x16=256
4x(4x4)x4=(4x16)x4=64x4=256
4x(4x4)x(4x4)=4x256=1024
5x5=25
5x(5x5)=5x25=125
(5x5)x5=25x5=125
(5x5)x(5x5)=25x25=625
6x(6x6)=6x36=216
(6x6)x6=36x6=216
7x7=49
7x(7x7)=7x49=243
8x8=64
8x(8x8)=8x64=512
(8x8)x8=64x8=512
9x9=81
9(9x9)=9x81=729
(9x9)x9=81x9=729
4 üzeri 2=4x4=16
4 üzeri 3=4x4x4=64
4 üzeri 4=4x4x4x4=256
4 üzeri 5=4x4x4x4x4=1024
4 üzeri 6=4x4x4x4x4x4=4096
Buradaki bilgiler yardımıyla tabanları aynı olan üslü sayıların çarpımında üslerin çarpılacağı sonucuna ulaşılır.
5 üzeri 2=5x5=25
5 üzeri 3=5x(5x5)=5x25=125
5 üzeri 4=(5x5)x(5x5)=625
5 üzeri 5=5x(5x5)x(5x5)=5x625=3125
6 üzeri 2=36
6 üzeri 3=216
7 üzeri 2=49
7 üzeri 3=243
8 üzeri 2=64
8 üzeri 3=512
9 üzeri 2=81
9 üzeri 3=729
İşçi ve havuz problemlerine şöyle başlayalım:
4 eşit büyüklükteki duvarı bir işçi 8 günde boyasın.Bir günde yarısını yani 1/2'sini boyar.
2 günde ne kadarını boyar? 2 tane gün: tane 1/2:2x1/2=2/2=1 duvar bo.
3 günde ne kadarını boyar?
4 günde ne kadarını boyar?
5 günde ne kadarını boyar?
6 günde ne kadarını boyar?
7 günde ne kadarını boyar?
8 günde ne kadarını boyar?
Bu konunun kolay anlaşılması için çözebileceğiniz kolay problemler oluşturabilirsiniz.
Boyanacak 3 oda ve her odada eşit büyüklükte 4'er duvar bulunsun.İşçinin biri günde 2 duvar,diğeri 1 duvar boyasın.Ne kadar sürede işi bitirebilirler?
Sorunun cevabını kesirleri kullanarak bulmaya çalışalım:
3 odada 4'er duvar;3 tane 4,12 eder.
Bu soruda boyanacak yeri 12 parça olarak düşünebiliriz.
İşçinin biri günde 12'de 1'ini,
diğeri ise 12'de 2'sini boyamaktadır.
Bunları toplayıp 1 günde boyanan bölgeyi kesir olarak ifade edelim.
Kpss'ye hazırlanan arkadaşlar, ben neden ısrarla yazıyorum anlatayım:
Sayısalda zor anlama ilkokul konularından başlıyor,sonra da 6,7,,8 sizin eksiğinizi fazlasıyla giderecek döküman var bu sitede.Ben de konuları elimden geldiğince basitleştirmeye,çeşitli açılardan anlatmaya çalışıyorum.ben de biliyorum,çok site var bu konuları anlatan.Ama ben eminim ki sizin ilacınız bu sitede.Buna inanmasam başka sitelere anlatım ve döküman gönderirdim.Siz bizi takip edin,anlayamazsanız lütfen sorun.
Yıllar önce dershaneye giden her dersten başarılı ama matematiği anlayamayan bir genç vardı.Ben dershaneye gittiğini ama orada da anlayamadığını öğrendim.Haliyle öğretmen sınıf seviyesinde anlatacaktı.Ben 4-5 konuyu basitleştirip kağıda yazıp verdim.Bir süre sonra kendine güveni gelmiş.Üniversiteyi kazanmış.Daha sonra girdiği Kpss'den 98 almış.Yani Türkiye'de kendi branşında 1. olmuş.Kendi alanında iki öğretmen almışlar.
Siz bizi takip edip yardım isteyin,inşaallah başaracaksınız.Allah zihin açıklığı versin.
Şimdi de bazı tavsiyeler vereyim:
Somuttan soyuta doğru gidelim.Soruyu kendimizle bütünleştirelim.Problemse problemin kahramanı biz olalım.Zaman kaybederim diye korkmayın,inanın zaman kazanacaksınız. Gerekirse şekil kullanın.Hatta başlangıçta keçeli kalemle soru çözün.Yazınızı güzelleştirin.Bu hem konuyu sevdirecek hem de hafızanızı güçlendirecektir.Yapılan araştırmalar istenmeyen,sevilmeyenlerin beyin tarafından silinmek istendiğini göstermektedir.
Konuları basitten karmaşığa,kolaydan zora doğru çalışmakta yarar var.Acele edersek kafamızdaki soru işaretleri artacağından konuyu sevemeyebiliriz.Mümkünse basit problemleri kendimiz hazırlayalım.Sitemizdeki eğitim günlüklerini iyi takip edelim.Konuyu gerekirse 4. ya da 5. sınıf seviyesinden alarak başlayalım.Bu bize zaman kaybettimez. Aksine konuyu anladıkça zaman kazanırız.
Bu konunun kolay anlaşılması için çözebileceğiniz kolay problemler oluşturabilirsiniz.
Boyanacak 3 oda ve her odada eşit büyüklükte 4'er duvar bulunsun.İşçinin biri günde 2 duvar,diğeri 1 duvar boyasın.Ne kadar sürede işi bitirebilirler?
Sorunun cevabını kesirleri kullanarak bulmaya çalışalım:
3 odada 4'er duvar;3 tane 4,12 eder.
Bu soruda boyanacak yeri 12 parça olarak düşünebiliriz.
İşçinin biri günde 12'de 1'ini,
diğeri ise 12'de 2'sini boyamaktadır.
Bunları toplayıp 1 günde boyanan bölgeyi kesir olarak ifade edelim.
İşçilerden biri 1 günde işin 12'de 1'ini,diğeri ise 12'de 2'sini yapmaktadır.
Bu iki kesri toplayıp 1 günde yapılan işi bulalım.
1/12+2/12=3/12
1 günde işin 12'de 3'ü yani 3/12'si yapılmaktadır.
İşin tamamı ise 12/12'dir.
Çözüme çarpma ya da bölme yoluyla kısa yoldan ulaşabiliriz.
3/12'yi ne ile çarparsam 12/12 eder?
Daha önceki bilgilerimize göre paylar çarpılıp paya yazılacağı için cevap 4 olacaktır.
4 tane 3/12 kaç eder?
4x3/12=12/12
12/12 ya da bir bütünü 3/12'ye ya da 1/4'e(3/12 sadeleştirilince 1/4 eder) bölerek sonucu bulabiliriz.1 bütünde 4 çeyrek vardır.Ya da 12/12'de 4 tane 3/12 eder.
Kesirlerle toplama ve çıkarmaya yeni başladıysanız mutlaka görsel kullanınız.
Basit toplama ve çıkarma işlemlerini zihinden yapamıyorsanız görsel kullanarak işlem yapmaya devam ediniz.
Bölme,bölünebilme konusunda aynı sayıları çarparak konuyu basitleştirmeye,kullanacağımız sayıları pekiştirmeye çalıştık.
4,6,8,10,12,15,18,21,24,27,32,36,40,44,,48,52,56,64,72,81 gibi sayıları 3,4,5,6,7,8,9 ve 10 ile önce kağıt üzerinde sonra zihinden çarpalım.Sınavda kağıt üzerinde yapmanızı tavsiye ederim.Çünkü sınav heyecanı nedeniyle işlem hatası yapabiliriz.
Kesirlerde çıkarma işlemine başlarken yine görselleri,kesir takımını kullanalım.Bu hem somut düşünmeyi,hem de konunun daha iyi anlaşılmasını sağlayacaktır.
Kesir takımını inceleyelim ve 1 bütüne eşit olan kesirlere bakalım.
1=2/2=3/3=4/4=?
3/3 kesrinin şeklinden 1/3 kesrini çıkaralım.
Geriye 2/3 kesrinin kaldığını göreceğiz.Çıkarma işleminin özelliğine göre 2/3 çıkarsaydık 1/3 kalacaktı.
Şimdi de 4/4 kesrini inceleyelim.Bunun 1 bütün olduğunu görelim.Bu kesirden ¼ kesrini şekil üzerinde çıkaralım.Geriye ¾ kesri kalacaktır.Çıkan ile farkın yerlerini değiştirdiğimizde ise ¾ kesrini çıkardığımızda geriye kalan 1/4 kesri olacaktır.
4/4 kesrinden 2/4 kesrini çıkardığımızda ise geriye kalan(fark) yine 2/4 kesri olacaktır.Yani 1 bütünün içinde 2 tane 2/4 kesri vardır.
Kendimiz de bütünden buna benzer parçalar çıkararak konuyu pekiştirebiliriz.
Kesir takımından 8/8 kesrini alalım ve çıkarma işlemleri yapalım:
8/8-1/8=7/8
8/8-2/8=6/8
8/8-3/8=5/8
8/8-4/8=4/8
Çıkan ile farkın yerlerini değiştirip yeni çıkarmalar yapalım.
Şimdi de 4/4-2/8 işlemini yapalım.4/4 kesrini 2 sayısıyla genişletirsek 8/8 kesrini elde ederiz.Böylece bilinenden bilinmeyene yöntemini de uygulamış olduk.
4/4=2x4/2x4=8/8
8/8-2/8=6/8
6:2/8:2=3/4
Ya da
2/8=2:2/8:2=1/4
4/4-1/4=3/4
Kümeler birçok konunun başlangıdır belki.
Boş bir kalemlikte sıfır(0) kalem vardır.Bu kümenin alt kümesi kendisidir.Yani 1 tane alt kümesi vardır.
Eğer kalemlikte 1 tane kalem varsa alt kümeleri sıfır elemanlı(boş kalemlik) ve kendisidir.yani sıfır elemanlı 1 tane,1 elemanlı 1 tane olmak üzere 2 tane alt kümesi vardır.
2 elemanlı kümenin alt kümeleri;
A={1,2} olsun
sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
1 elemanlı alt küme sayısı:2, {1},{2}
2 elemanlı alt küme sayısı:1, {1,2} (kendisi)
3 elemanlı kümenin alt kümeleri
B={a,b,c} olsun.
sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
1 elemanlı alt küme sayısı:3 {a}, {b},{c}
2 elemanlı alt küme sayısı:3 {a,b},{a,c},{b,c}
3 elemanlı alt küme sayısı :1 {a,b,c} (kendisi)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
4 elemanlı kümenin alt kümeleri
A={1,2,3,4} olsun.
sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
1 elemanlı alt küme sayısı:4 {1},{2},{3},{4}
2 elemanlı alt küme sayıs:6 {1,2} {1,3}, {1,4} {2,3} {2,4} {3,4}
3 elemanlı alt küme sayısı:4 {1,2,3}, {1,2,4},{ 1,3,4},{2,3,4}
4 elemanlı alt küme sayısı:1 {1,2,3,4} (kendisi),(kendisi hariç diğer alt kümelere özalt kümeler de denir.)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
2 elemanlıları bulurken ikişer ikişer kapatıyoruz.
3 elemanlıları bulurken birer birer kapatıyoruz.
Sanırım artık kesir problemlerine geçebiliriz.Kesirlerle yapacağınız dört işlemle ilgili takıldığınız bir yer varsa yazabilirsiniz.Tek işlemlileri yaptık.Birden fazla işlemlerde işlem önceliğne,sırasına dikkat edelim.
5 elemanlı bir kümenin alt kümelerini siz bulmayı deneyin.Önce 4 elemanlı kümenin alt kümelerini yazalım.Sonra yeni elemanla ne kadar alt küme oluştuğuna bakalım.
A={1,2,3,4,5} olsun.
A={1,2,3,4,5} olarak almıştık.
4 elemanlı kümenin alt kümelerine ekleme yapalımve nasıl oluştuğunu da görelim:
Boş küme yani sıfır elemanlı alt küme sayısı yine 1,
1 elemanlılara ek olarak {5}
2 elemanlılara ek olarak {1,5} {2,5} {3,5} {4,5}
3 elemanlılara ek olarak {1,2,5} {1,3,5} {1,4,5} {2,3,5} {2,4,5} {3,4,5}
4 elemanlılara ek olarak {1,2,3,5} {1,2,4,5} {1,3,4,5} {2,3,4,5 }
5 elemanlı 1 tane:{1,2,3,4,5}
Bu kümeleri 4 elemanlı kümenin alt kümelerine ekleyip düzenleyelim.Böylece 5 elemanlı kümenin alt kümeleri ortaya çıkmış olsun.
A={1,2,3,4,5} ise A kümesinin alt kümeleri
Sıfır elemanlı alt küme sayısı:1 {} (boş küme)
1 elemanlı alt küme sayısı:5 {1} {2} {3} {4} {5}
2 elemanlı alt küme sayısı:10 {1,2} {1,3} {1,4}{1,5}{2,3} {2,4}{2,5}{3,4} {3 ,5} {4,5}
3 elemanlı alt küme sayısı:10 {1,2,3} {1,2,4} {1,2,5} {1,3,4} {1,3,5}{1,4,5} {2,3,4} {2,3,5} {2,4,5} {3,4,5}
4 elemanlı alt küme sayısı: 5 {1,2,3,4} {1,2,3,5}{1,2,4,5} {1,3,4,5}
{2,3,4,5} (her seferinde 1 elemanın kapatıldığına dikkat edelim)
5 elemanlı alt küme sayısı:1 tane {1,2,3,4,5}
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Kpss'ye hazırlananlar,sonradan matematik öğrenenler,dışarıdan bitirme sınavlarına girenler özellikle ilköğretim konularıyla ilgilieksikliklerini gidermelidirler.
Belki 4.,5. sınıf konularını bile çalışmanız,tekrar etmeniz gerekebilir.Çünkü konular birbiriyle bağlantılıdır.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 5 10 10 5 1
Buradaki satırları sırasıyla açıklayalım:
1
Sıfır elemanlı kümenin alt küme sayısı boş küme yani kendisidir.
1 1
1 elemanlı kümenin alt küme sayısı 2'dir.Boş küme ve kendisi
1 2 1
Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
1 elemanlı alt küme sayısı :2
2 elemanlı alt küme sayısı :1 (kendisi)
1 3 3 1
Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
1 elemanlı alt küme sayısı :3
2 elemanlı alt küme sayısı :3
3 elemanlı alt küme sayısı :1 (kendisi)
1 4 6 4 1
Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
1 elemanlı alt küme sayısı :4
2 elemanlı alt küme sayısı :6
3 elemanlı alt küme sayısı :4
4 elemanlı alt küme sayısı :1 (kendisi)
1 5 10 10 5 1
Sıfır elemanlı alt küme sayısı :1
1 elemanlı alt küme sayısı :5
2 elemanlı alt küme sayısı :10
3 elemanlı alt küme sayısı :10
4 elemanlı alt küme sayısı :5
5 elemanlı alt küme sayısı :1 (kendisi)
B={1,2,3,4,5,6} alt kümelerini bulalım.
B={1,2,3,4,5,6} alt kümelerini bulurken
A={1,2,3,4,5} kümesine {6} elemanının bulunduğu alt kümeleri de ekleyelim.Bu konu pek çok konu için temel bilgi demektir.
B={1,2,3,4,5,6} alt kümelerini bulurken
A={1,2,3,4,5} kümesine {6} elemanının bulunduğu alt kümeleri de ekleyelim.Bu konu pek çok konu için temel bilgi demektir.
Sıfır elemanlı alt küme:{}
1 elemanlı alt kümeleri:{1},{2},{3},{4},{5},{6}
2 elemanlı alt kümeleri:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5}{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}
6 elemanlı kümenin alt kümeleri:
Sıfır elemanlı alt küme:{}
1 elemanlı alt kümeleri:{1},{2},{3},{4},{5},{6}
2 elemanlı alt kümeleri:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5}{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6}
3 elemanlı alt kümeleri :{1,2,3} {1,2,4} {1,2,5} {1,2,6} {1,3,4} {1,3,5} {1,3,6} {1,4,5} {1,4,6}{1,5,6} {2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,4,5},{2,4,6},{2,5,6}{3,4,5},{3,4,6}{3,5,6}{4,5,6}
4 elemanlı kümeleri bulurken her seferinde farklı 2 eleman kapatırız.
5 elemanlı kümeleri bulurken her seferinde 1 elemanı kapatırız.
6 elemanlı kümenin 6 elemanlı alt kümesi kendisidir.Diğer kümeler ise özalt kümedir.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
6 elemanlı kümenin alt kümeleri
4 elemanlı alt kümeleri:
{1,2,3,4 } {1,2,3,5} {1,2,3,6}{1,2,4,5}{1,2,4,6}{1,2,5,6}{1,3,4,5}{1,3,4,6}{1,3,5,6}{1,4,5,6} {2,3,4,5}{2,3,4,6}{2,3,5,6}{2,4,5,6}{3,4,5,6}
5 elemanlı alt kümeleri:
{1,2,3,4,5} {1,2,3,4,6}{1,2,3,5,6}{1,2,4,5,6,} {1,3,4,5,6,}{2,3,4,5,6,}
6 elemanlı alt kümesi(kendisi):{1,2,3,4,5,6}
Bir toplantıda 8 kişi birbirleriyle birer defa tokalaşmıştır.Toplam kaç tokalaşma olmuştur?
Önce 2 kişi tokalaşmış olsun.Sadece 1 tokalaşma olacaktır.
Kişi sayısını 3'e çıkaralım.2 kişiyle tokalaşacaktır.2+1=3
Kişi sayısını 4'e çıkaralım.4. kişi 3 kişiyle tokalaşacaktır. 3+2+1=6
Kişi sayısını 5'e çıkaralım.5. kişi 4 kişiyle tokalaşacaktır. 4+3+2+1=10
............................. ........
8 kişi için 7+6+5+4+3+2+1=28 tokalaşma olacaktır.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
Bu mesaja teşekkür edenler:(1): Hasan Yiğit,
Cevap:Kpss Matematik (23.12.2013 21:36:41)
Alıntı
İmza:Sınıf Öğretmeniyiz Biz
Alıntı
Alıntı Sahibi: Bekir Berkiten
Ekledim (Konu Anlatımlarına) ancak tekrar baktığımda göremedim, işleyişi iyice öğrenip tekrar denerim.
Sanırım siz eklerken bir hata oluşmuş. Ben de göremedim son konu anlatımlarında. Tekrar deneyip varsa hatanın nedenini bana yazabilirseniz sevinirim öğretmenim.
Ekledim (Konu Anlatımlarına) ancak tekrar baktığımda göremedim, işleyişi iyice öğrenip tekrar denerim.
İmza:Sınıf Öğretmeniyiz Biz
Bu mesaja teşekkür edenler:(1): Bekir Berkiten,
Cevap:Kpss Matematik (24.12.2013 17:23:52)
Mustafa Öğretmenim,
Bir kısmını ekledim, onayınızı bekliyor.
Ben Kpss/Lisans bölümüne ekledim. Ancak bu bilgiler diğer sınıflara da yararlı olacaktır. Çünkü bunlar Kpss/Lisans ve ortaokul konularını içeriyor.
Ayrıca lise konusu olan fonksiyonlar konusu için görsel ekleyebilecek bir arkadaş olursa çok basit anlatılabilecek bir konu olduğunu düşünüyorum.
Ayrıca sosyal medyada tanıtırsak daha fazla kişi ulaşabilir.
Okuyan herkese ve öğrencilerimize selamlar,
Saygılar sunarım.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
Mustafa Öğretmenim,
Bir kısmını ekledim, onayınızı bekliyor.
Ben Kpss/Lisans bölümüne ekledim. Ancak bu bilgiler diğer sınıflara da yararlı olacaktır. Çünkü bunlar Kpss/Lisans ve ortaokul konularını içeriyor.
Ayrıca lise konusu olan fonksiyonlar konusu için görsel ekleyebilecek bir arkadaş olursa çok basit anlatılabilecek bir konu olduğunu düşünüyorum.
Ayrıca sosyal medyada tanıtırsak daha fazla kişi ulaşabilir.
Okuyan herkese ve öğrencilerimize selamlar,
Saygılar sunarım.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
Bu mesaja teşekkür edenler:
Cevap:Kpss Matematik (12.2.2014 15:21:47)
Kpss'ye hazırlanan arkadaşlar yorumlarını önerilerini yazarlarsa daha yararlı olabiliriz.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
Kpss'ye hazırlanan arkadaşlar yorumlarını önerilerini yazarlarsa daha yararlı olabiliriz.
İmza:Kendimi en üstün gördüğümde beni aşağıya çekmek için uzanan elleri gördüm.Kendimi en küçük gördüğümde ise bana yardım etmek için yukarıdan uzanan elleri gördüm. Biz üçüncü sınıfız,üçüncü sınıf değil.
Bu mesaja teşekkür edenler:
Cevap:Kpss Matematik (15.2.2014 09:52:58)
çok güzel
İmza:
çok güzel
İmza:
Bu mesaja teşekkür edenler:(1): Bekir Berkiten,
- Benzer Konular
- Kpss Matematik